题目
1. (6.0分) 设平面曲线L为下半圆周y=-sqrt(1-x^2)，则曲线积分int_(L)(x^2+y^2)ds=（）.A. 1B. 2πC. πD. 0
1. (6.0分)
设平面曲线L为下半圆周$y=-\sqrt{1-x^{2}}$，则曲线积分$\int_{L}(x^{2}+y^{2})ds=（）$.
A. 1
B. 2π
C. π
D. 0
题目解答
答案
C. π
解析
步骤 1：参数化曲线
将曲线 $L$ 参数化为 $x = \cos t$，$y = \sin t$，其中 $t \in [\pi, 2\pi]$。这是因为曲线 $L$ 是下半圆周，可以利用单位圆的参数方程来表示。
步骤 2：计算弧长元素
计算弧长元素 $ds$。由于 $x = \cos t$ 和 $y = \sin t$，则 $dx = -\sin t \, dt$ 和 $dy = \cos t \, dt$。因此，$ds = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2} \, dt = dt$。
步骤 3：代入被积函数并计算积分
代入被积函数 $x^2 + y^2$，利用恒等式 $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$，得 \[ \int_{\pi}^{2\pi} 1 \, dt = [t]_{\pi}^{2\pi} = \pi. \] 或者直接利用 $x^2 + y^2 = 1$，积分变为曲线 $L$ 的长度，即下半圆周长 $\pi$。
将曲线 $L$ 参数化为 $x = \cos t$，$y = \sin t$，其中 $t \in [\pi, 2\pi]$。这是因为曲线 $L$ 是下半圆周，可以利用单位圆的参数方程来表示。
步骤 2：计算弧长元素
计算弧长元素 $ds$。由于 $x = \cos t$ 和 $y = \sin t$，则 $dx = -\sin t \, dt$ 和 $dy = \cos t \, dt$。因此，$ds = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2} \, dt = dt$。
步骤 3：代入被积函数并计算积分
代入被积函数 $x^2 + y^2$，利用恒等式 $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$，得 \[ \int_{\pi}^{2\pi} 1 \, dt = [t]_{\pi}^{2\pi} = \pi. \] 或者直接利用 $x^2 + y^2 = 1$，积分变为曲线 $L$ 的长度，即下半圆周长 $\pi$。