题目
9、利用格林公式计算int_(L)(e^xsin y-2y)dx+(e^xcos y-2)dy，其中L为沿上半圆周(x-a)^2+y^2=a^2,ygeq0、从A(2a,0)到O(0,0)的弧段.
9、利用格林公式计算$\int_{L}(e^{x}\sin y-2y)dx+(e^{x}\cos y-2)dy$，其中L为沿上半圆周$(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2},y\geq0$、从A(2a,0)到O(0,0)的弧段.
题目解答
答案
设向量场 $\mathbf{F} = (P, Q)$，其中 $P = e^x \sin y - 2y$，$Q = e^x \cos y - 2$。计算得
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2.
\]
构造闭合曲线 $C$ 包含上半圆弧 $L$ 和线段 $\overline{OA}$（从 $O$ 到 $A$），围成半圆区域 $D$。由格林公式，
\[
\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_D 2 \, dA = 2 \times \frac{1}{2} \pi a^2 = \pi a^2.
\]
线段 $\overline{OA}$ 上 $y = 0$，$dy = 0$，积分值为
\[
\int_{\overline{OA}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0.
\]
故原积分为
\[
\int_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \pi a^2 - 0 = \pi a^2.
\]
答案：$\boxed{\pi a^2}$
解析
步骤 1：定义向量场
设向量场 $\mathbf{F} = (P, Q)$，其中 $P = e^x \sin y - 2y$，$Q = e^x \cos y - 2$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$，得到 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = e^x \cos y, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = e^x \cos y - 2. \] 因此， \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2. \]
步骤 3：构造闭合曲线
构造闭合曲线 $C$ 包含上半圆弧 $L$ 和线段 $\overline{OA}$（从 $O$ 到 $A$），围成半圆区域 $D$。
步骤 4：应用格林公式
由格林公式， \[ \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_D 2 \, dA = 2 \times \frac{1}{2} \pi a^2 = \pi a^2. \]
步骤 5：计算线段 $\overline{OA}$ 上的积分
线段 $\overline{OA}$ 上 $y = 0$，$dy = 0$，积分值为 \[ \int_{\overline{OA}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0. \]
步骤 6：计算原积分
故原积分为 \[ \int_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \pi a^2 - 0 = \pi a^2. \]
设向量场 $\mathbf{F} = (P, Q)$，其中 $P = e^x \sin y - 2y$，$Q = e^x \cos y - 2$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$，得到 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = e^x \cos y, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = e^x \cos y - 2. \] 因此， \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2. \]
步骤 3：构造闭合曲线
构造闭合曲线 $C$ 包含上半圆弧 $L$ 和线段 $\overline{OA}$（从 $O$ 到 $A$），围成半圆区域 $D$。
步骤 4：应用格林公式
由格林公式， \[ \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_D 2 \, dA = 2 \times \frac{1}{2} \pi a^2 = \pi a^2. \]
步骤 5：计算线段 $\overline{OA}$ 上的积分
线段 $\overline{OA}$ 上 $y = 0$，$dy = 0$，积分值为 \[ \int_{\overline{OA}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0. \]
步骤 6：计算原积分
故原积分为 \[ \int_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \pi a^2 - 0 = \pi a^2. \]