4.设随机变量X的密度函数为 f(x)= ) A(e)^-x,0lt xlt +infty 0, . 求-|||-(1)系数A;(2) (0lt Xlt 1); (3)X的分布函数.

步骤 1：确定系数A
根据概率密度函数的性质，整个定义域上的积分应等于1。因此，我们有：
$$
\int_{0}^{+\infty} A e^{-x} dx = 1
$$
步骤 2：计算积分
计算上述积分，我们得到：
$$
A \int_{0}^{+\infty} e^{-x} dx = A [-e^{-x}]_{0}^{+\infty} = A [0 - (-1)] = A
$$
因此，A = 1。
步骤 3：计算 $P(0 < X < 1)$
根据概率密度函数，我们有：
$$
P(0 < X < 1) = \int_{0}^{1} e^{-x} dx
$$
计算上述积分，我们得到：
$$
P(0 < X < 1) = [-e^{-x}]_{0}^{1} = -e^{-1} + 1 = 1 - e^{-1}
$$
步骤 4：确定X的分布函数
分布函数F(x)定义为：
$$
F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt
$$
对于给定的密度函数，我们有：
$$
F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} e^{-t} dt = [-e^{-t}]_{0}^{x} = 1 - e^{-x}
$$
对于x < 0，F(x) = 0，因为密度函数在x < 0时为0。