题目
下列命题中,正确命题的个数( )(1)若Ax=0只有零解,则Ax=b有唯一解; (2)若Ax=0有非零解,则Ax=b有无穷多解; (3)若Ax=b无解,则Ax=0一定有非零解; (4)若Ax=b有唯一解,则Ax=0只有零解; (5)若Ax=b有无穷多解,则Ax=0一定有非零解. A 1 B 2 C 3 D 4
下列命题中,正确命题的个数( )
(1)若Ax=0只有零解,则Ax=b有唯一解;
(2)若Ax=0有非零解,则Ax=b有无穷多解;
(3)若Ax=b无解,则Ax=0一定有非零解;
(4)若Ax=b有唯一解,则Ax=0只有零解;
(5)若Ax=b有无穷多解,则Ax=0一定有非零解.
A 1 B 2 C 3 D 4
题目解答
答案
记A为m行n列的矩阵，且m,n大小未知
(1)若Ax=0只有零解，此时r(A)=n，r(A|b)的秩可能为n或n+1，方程Ax=b可能有唯一解或无解，故(1)有误；
(2)若Ax=0有非零解，此时r(A)<n，r(A|b)的秩可能<n或<n+1，方程Ax=b可能有无穷多解或无解;，故(2)有误；
(3)若Ax=b无解，此时r(A|B)=r(A)+1，r(A)可能等于n或<n，方程Ax=0可能有唯一解或有非零解;，故(3)有误；
(4)若Ax=b有唯一解，此时r(A|B)=r(A)=n，当r(A)=n时，方程Ax=0列满秩只有零解;，故(4)正确；
(5)若Ax=b有无穷多解，此时r(A|B)=r(A)<n，当r(A)<n时，方程Ax=0列不满秩一定有非零解，故(5)正确。
综上正确个数为2，故选B
解析
步骤 1：分析命题(1)
若Ax=0只有零解，此时r(A)=n，r(A|b)的秩可能为n或n+1，方程Ax=b可能有唯一解或无解，故(1)有误；
步骤 2：分析命题(2)
若Ax=0有非零解，此时r(A)步骤 3：分析命题(3)
若Ax=b无解，此时r(A|B)=r(A)+1，r(A)可能等于n或步骤 4：分析命题(4)
若Ax=b有唯一解，此时r(A|B)=r(A)=n，当r(A)=n时，方程Ax=0列满秩只有零解;，故(4)正确；
步骤 5：分析命题(5)
若Ax=b有无穷多解，此时r(A|B)=r(A)
若Ax=0只有零解，此时r(A)=n，r(A|b)的秩可能为n或n+1，方程Ax=b可能有唯一解或无解，故(1)有误；
步骤 2：分析命题(2)
若Ax=0有非零解，此时r(A)
若Ax=b无解，此时r(A|B)=r(A)+1，r(A)可能等于n或
若Ax=b有唯一解，此时r(A|B)=r(A)=n，当r(A)=n时，方程Ax=0列满秩只有零解;，故(4)正确；
步骤 5：分析命题(5)
若Ax=b有无穷多解，此时r(A|B)=r(A)