4.设 (z)=dfrac (1)(z)-zsin dfrac (1)({z)^2}, 则 [ f(z),0] =-|||-(A)1; (B)2; (C)0; (D)2πi.

步骤 1：确定函数 $f(z)$ 在 $z=0$ 处的洛朗展开式
首先，我们需要确定函数 $f(z)$ 在 $z=0$ 处的洛朗展开式。注意到 $f(z)$ 可以写成两个部分：$\frac{1}{z}$ 和 $-z\sin \frac{1}{z^2}$。其中，$\frac{1}{z}$ 在 $z=0$ 处有一个简单极点，而 $-z\sin \frac{1}{z^2}$ 在 $z=0$ 处有一个本质奇点。因此，我们需要分别考虑这两个部分的洛朗展开式。

步骤 2：计算 $\sin \frac{1}{z^2}$ 的洛朗展开式
$\sin \frac{1}{z^2}$ 的洛朗展开式为：
$$\sin \frac{1}{z^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \frac{1}{z^{4n+2}}$$
因此，$-z\sin \frac{1}{z^2}$ 的洛朗展开式为：
$$-z\sin \frac{1}{z^2} = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \frac{1}{z^{4n+1}}$$

步骤 3：计算 $f(z)$ 的洛朗展开式
将 $\frac{1}{z}$ 和 $-z\sin \frac{1}{z^2}$ 的洛朗展开式相加，得到 $f(z)$ 的洛朗展开式：
$$f(z) = \frac{1}{z} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \frac{1}{z^{4n+1}}$$
$$f(z) = \frac{1}{z} - \frac{1}{z} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \frac{1}{z^{4n+1}}$$
$$f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \frac{1}{z^{4n+1}}$$

步骤 4：计算留数
根据洛朗展开式，$f(z)$ 在 $z=0$ 处的留数为 $Re[f(z),0]$，即 $z^{-1}$ 项的系数。从上面的展开式可以看出，$z^{-1}$ 项的系数为 $0$，因此 $Re[f(z),0] = 0$。