题目

设 f(x)=} xcos (1)/(x), & x>0, a+x^2, & xleq0, 要使 f(x) 在 (-infty,+infty) 内连续，确定常数 a.

设 $f(x)=\begin{cases} x\cos \frac{1}{x}, & x>0, \\ a+x^2, & x\leq0, \end{cases}$ 要使 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，确定常数 $a$.

题目解答

答案

要使函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内连续，需满足在 $x = 0$ 处连续。

  1. 计算 $f(0)$：
    由定义，当 $x \leqslant 0$ 时，$f(x) = a + x^2$，故 $f(0) = a$。

  2. 计算右极限 $\lim_{x \to 0^+} f(x)$：
    当 $x > 0$ 时，$f(x) = x \cos \frac{1}{x}$。由于 $\cos \frac{1}{x}$ 在 $[-1, 1]$ 内 oscillate，但 $x \to 0^+$ 时 $x$ 趋于 0，故 $\lim_{x \to 0^+} x \cos \frac{1}{x} = 0$。

  3. 计算左极限 $\lim_{x \to 0^-} f(x)$：
    当 $x \leqslant 0$ 时，$f(x) = a + x^2$，故 $\lim_{x \to 0^-} (a + x^2) = a$。

  4. 确保连续性：
    由连续性条件 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$，得 $0 = a$。

结论：常数 $a$ 的值为 $\boxed{0}$。

解析

本题考查分段函数的连续性，解题的关键在于利用函数在某点连续的充要条件，即该点处的左极限、右极限与函数值相等。

  1. 分析函数连续性条件：
    • 已知函数$f(x)=\begin{cases} x\cos \frac{1}{x}, & x>0 \\ a+x^2, & x\leq0 \end{cases}$，在$x\neq0$时，$x\cos\frac{1}{x}$和$a + x^2$都是初等函数，在各自的定义域内是连续的。
    • 所以要使$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内连续，只需保证$f(x)$在$x = 0$处连续。
  2. 计算$f(0)$的值：
    • 当$x = 0$时，根据函数定义，此时$f(x)=a + x^2$，将$x = 0$代入可得$f(0)=a+0^2=a$。
  3. 计算右极限$\lim_{x \to 0^+} f(x)$：
    • 当$x\to0^+$时，$f(x)=x\cos\frac{1}{x}$。
    • 因为$\cos\frac{1}{x}$是有界函数，即$-1\leqslant\cos\frac{1}{x}\leqslant1$，而$\lim_{x \to 0^+}x = 0$。
    • 根据有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，可得$\lim_{x \to 0^+}x\cos\frac{1}{x}=0$。
  4. 计算左极限$\lim_{x \to 0^-} f(x)$：
    • 当$x\to0^-$时，$f(x)=a + x^2$。
    • 根据极限的四则运算法则$\lim_{x \to 0^-}(a + x^2)=\lim_{x \to 0^-}a+\lim_{x \to 0^-}x^2$。
    • 因为常数的极限就是其本身，所以$\lim_{x \to 0^-}a = a$，又$\lim_{x \to 0^-}x^2 = 0$，则$\lim_{x \to 0^-}(a + x^2)=a$。
  5. 根据连续性条件确定$a$的值：
    • 函数在$x = 0$处连续，则$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$。
    • 即$0 = a$。