题目
[2005年] 设A,B,C均为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,若B=E+AB,C=A+CA,则B-C为( ).A. EB. -EC. AD. -A
[2005年] 设A,B,C均为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,若B=E+AB,C=A+CA,则B-C为( ).
A. E
B. -E
C. A
D. -A
题目解答
答案
A. E
解析
步骤 1：矩阵B的表达式
根据题目条件，B = E + AB。可以将这个表达式重写为B - AB = E，即B(I - A) = E，其中I是单位矩阵。这表明B是(I - A)的逆矩阵，即B = (I - A)^{-1}。
步骤 2：矩阵C的表达式
根据题目条件，C = A + CA。可以将这个表达式重写为C - CA = A，即C(I - A) = A。这表明C是A乘以(I - A)的逆矩阵，即C = A(I - A)^{-1}。
步骤 3：计算B - C
根据步骤1和步骤2，我们有B = (I - A)^{-1}和C = A(I - A)^{-1}。因此，B - C = (I - A)^{-1} - A(I - A)^{-1} = (I - A)^{-1}(I - A) = E。所以B - C = E。
根据题目条件，B = E + AB。可以将这个表达式重写为B - AB = E，即B(I - A) = E，其中I是单位矩阵。这表明B是(I - A)的逆矩阵，即B = (I - A)^{-1}。
步骤 2：矩阵C的表达式
根据题目条件，C = A + CA。可以将这个表达式重写为C - CA = A，即C(I - A) = A。这表明C是A乘以(I - A)的逆矩阵，即C = A(I - A)^{-1}。
步骤 3：计算B - C
根据步骤1和步骤2，我们有B = (I - A)^{-1}和C = A(I - A)^{-1}。因此，B - C = (I - A)^{-1} - A(I - A)^{-1} = (I - A)^{-1}(I - A) = E。所以B - C = E。