题目
设f(x,y)在f(x,y)的邻域内连续且f(x,y) ，则( ) ( A ) f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 处取极小值 ( B ) f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 处取极大值 ( C ) f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 处可偏导但不取极值 ( D ) f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 处不可偏导也不取极值
设
在
的邻域内连续且
，则( )
( A ) f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 处取极小值
( B ) f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 处取极大值
( C ) f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 处可偏导但不取极值
( D ) f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 处不可偏导也不取极值
题目解答
答案
本题为选择题，因而可以任意找一个符合题目条件的f(x,y)
根据题目条件
我们假设
则f(x,y)在 ( 0 , 0 ) 处可偏导但不取极值，因而C选项是正确的
解析
步骤 1：理解题目条件
题目条件是$\lim _{x\rightarrow 0}y\rightarrow 0\dfrac {f(x,y)-1}{\ln (1+{x}^{2}+{y}^{2})}=2$，这意味着当$(x,y)$接近$(0,0)$时，$f(x,y)$与$1$的差值与$\ln(1+x^2+y^2)$的比值趋近于$2$。
步骤 2：构造满足条件的函数
为了满足题目条件，我们可以构造一个函数$f(x,y)$，使得它在$(0,0)$处的极限满足给定的条件。一个简单的选择是$f(x,y)=2\ln(1+x^2+y^2)+1$，因为当$(x,y)$接近$(0,0)$时，$\ln(1+x^2+y^2)$趋近于$0$，而$2\ln(1+x^2+y^2)+1$趋近于$1$，满足题目条件。
步骤 3：分析函数性质
构造的函数$f(x,y)=2\ln(1+x^2+y^2)+1$在$(0,0)$处是连续的，且可以计算出其偏导数。由于$\ln(1+x^2+y^2)$在$(0,0)$处是可导的，因此$f(x,y)$在$(0,0)$处也是可偏导的。但是，由于$\ln(1+x^2+y^2)$在$(0,0)$处的值为$0$，$f(x,y)$在$(0,0)$处的值为$1$，且随着$(x,y)$远离$(0,0)$，$f(x,y)$的值会增加，因此$f(x,y)$在$(0,0)$处不取极值。
题目条件是$\lim _{x\rightarrow 0}y\rightarrow 0\dfrac {f(x,y)-1}{\ln (1+{x}^{2}+{y}^{2})}=2$，这意味着当$(x,y)$接近$(0,0)$时，$f(x,y)$与$1$的差值与$\ln(1+x^2+y^2)$的比值趋近于$2$。
步骤 2：构造满足条件的函数
为了满足题目条件，我们可以构造一个函数$f(x,y)$，使得它在$(0,0)$处的极限满足给定的条件。一个简单的选择是$f(x,y)=2\ln(1+x^2+y^2)+1$，因为当$(x,y)$接近$(0,0)$时，$\ln(1+x^2+y^2)$趋近于$0$，而$2\ln(1+x^2+y^2)+1$趋近于$1$，满足题目条件。
步骤 3：分析函数性质
构造的函数$f(x,y)=2\ln(1+x^2+y^2)+1$在$(0,0)$处是连续的，且可以计算出其偏导数。由于$\ln(1+x^2+y^2)$在$(0,0)$处是可导的，因此$f(x,y)$在$(0,0)$处也是可偏导的。但是，由于$\ln(1+x^2+y^2)$在$(0,0)$处的值为$0$，$f(x,y)$在$(0,0)$处的值为$1$，且随着$(x,y)$远离$(0,0)$，$f(x,y)$的值会增加，因此$f(x,y)$在$(0,0)$处不取极值。