题目
6.判断题若幂级数sum_(n=1)^inftya_(n)x^n的系数满足lim_(ntoinfty)|(a_(n))/(a_(n+1))|=R，若R=+∞，则幂级数仅在x=0处绝对收敛.A. 对B. 错
6.判断题
若幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}$的系数满足$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=R$，若R=+∞，则幂级数仅在x=0处绝对收敛.
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：理解幂级数的收敛半径
幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}$的收敛半径$R$可以通过比值检验来确定，该检验指出收敛半径$R$由下式给出： \[ R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \]
步骤 2：分析题目中的条件
题目中给出，$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = R$且$R = +\infty$。这意味着幂级数的收敛半径是$+\infty$。收敛半径为$+\infty$意味着幂级数对于所有实数$x$都绝对收敛。
步骤 3：判断陈述的正确性
陈述“若幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}$的系数满足$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = R$，若$R = +\infty$，则幂级数仅在$x = 0$处绝对收敛”是错误的。因为收敛半径为$+\infty$意味着幂级数对于所有实数$x$都绝对收敛，而不仅仅是$x=0$处。
幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}$的收敛半径$R$可以通过比值检验来确定，该检验指出收敛半径$R$由下式给出： \[ R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \]
步骤 2：分析题目中的条件
题目中给出，$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = R$且$R = +\infty$。这意味着幂级数的收敛半径是$+\infty$。收敛半径为$+\infty$意味着幂级数对于所有实数$x$都绝对收敛。
步骤 3：判断陈述的正确性
陈述“若幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}$的系数满足$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = R$，若$R = +\infty$，则幂级数仅在$x = 0$处绝对收敛”是错误的。因为收敛半径为$+\infty$意味着幂级数对于所有实数$x$都绝对收敛，而不仅仅是$x=0$处。