题目

lim _((x, y)arrow(2,0)) (sin (x y))/(y)=( ) A. 2B. 0C. 1D. 不存在

$\lim _{(x, y)\rightarrow(2,0)} \frac{\sin (x y)}{y}=\left(\quad\right)$

  • A. 2
  • B. 0
  • C. 1
  • D. 不存在

题目解答

答案

当 $(x, y) \to (2, 0)$ 时，利用等价无穷小 $\sin(xy) \sim xy$（因 $xy \to 0$），原式可化简为： \[ \lim_{(x,y)\to(2,0)}\frac{\sin(xy)}{y} = \lim_{(x,y)\to(2,0)}\frac{xy}{y} = \lim_{(x,y)\to(2,0)}x = 2 \] 因此，答案为 $\boxed{A}$。

解析

考查要点：本题主要考查二元函数的极限计算，特别是利用等价无穷小替换简化表达式的能力，以及判断多元函数极限是否存在。

解题核心思路：
当点$(x, y)$趋近于$(2, 0)$时，$xy$趋近于$0$，此时$\sin(xy)$可以用等价无穷小$xy$替换。通过替换简化分式后，直接代入$x$的极限值即可求解。

破题关键点：

  1. 识别等价无穷小：当$xy \to 0$时，$\sin(xy) \sim xy$。
  2. 路径无关性：替换后表达式简化为$x$，与$y$无关，因此极限值唯一，不存在路径依赖。

步骤1：应用等价无穷小替换
当$(x, y) \to (2, 0)$时，$xy \to 0$，根据等价无穷小关系$\sin(xy) \sim xy$，原式可化简为：
$\frac{\sin(xy)}{y} \approx \frac{xy}{y} = x.$

步骤2：计算简化后的极限
此时表达式仅剩$x$，当$(x, y) \to (2, 0)$时，$x$的极限值为$2$，因此：
$\lim_{(x,y)\to(2,0)} x = 2.$

结论：极限值为$2$，对应选项A。