题目
极坐标系中，计算I=int_(0)^2dxint_(0)^sqrt(4-x^2)(x^2+y^2)dy的值（）A. pi.B. (pi)/(8).C. 2pi.D. 16pi.
极坐标系中，计算$I=\int_{0}^{2}dx\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}(x^2+y^2)dy$的值（）
A. $\pi$.
B. $\frac{\pi}{8}$.
C. $2\pi$.
D. $16\pi$.
题目解答
答案
C. $2\pi$.
解析
步骤 1：转换为极坐标系
将直角坐标系下的积分转换为极坐标系下的积分。在极坐标系中，$x = r \cos \theta$ 和 $y = r \sin \theta$，且 $x^2 + y^2 = r^2$。同时，面积元素 $dx \, dy$ 转换为 $r \, dr \, d\theta$。给定的积分区域是 $0 \leq x \leq 2$ 和 $0 \leq y \leq \sqrt{4 - x^2}$。这个区域描述了一个半径为2的半圆，位于第一象限。在极坐标系中，这个区域对应于 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ 和 $0 \leq r \leq 2$。
步骤 2：重写积分
因此，积分可以重写为：\[ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{2} r^2 \cdot r \, dr = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{2} r^3 \, dr. \]
步骤 3：计算内积分
首先，我们计算内积分：\[ \int_{0}^{2} r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} = 4. \]
步骤 4：计算外积分
接下来，我们计算外积分：\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4 \, d\theta = 4 \left[ \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 4 \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = 4 \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi. \]
将直角坐标系下的积分转换为极坐标系下的积分。在极坐标系中，$x = r \cos \theta$ 和 $y = r \sin \theta$，且 $x^2 + y^2 = r^2$。同时，面积元素 $dx \, dy$ 转换为 $r \, dr \, d\theta$。给定的积分区域是 $0 \leq x \leq 2$ 和 $0 \leq y \leq \sqrt{4 - x^2}$。这个区域描述了一个半径为2的半圆，位于第一象限。在极坐标系中，这个区域对应于 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ 和 $0 \leq r \leq 2$。
步骤 2：重写积分
因此，积分可以重写为：\[ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{2} r^2 \cdot r \, dr = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{2} r^3 \, dr. \]
步骤 3：计算内积分
首先，我们计算内积分：\[ \int_{0}^{2} r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} = 4. \]
步骤 4：计算外积分
接下来，我们计算外积分：\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4 \, d\theta = 4 \left[ \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 4 \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = 4 \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi. \]