若向量函数组Y_1(x), Y_2(x), ..., Y_n(x)的朗斯基行列式W(x)在区间I上某点x_0处有W(x_0) = 0，则Y_1(x), Y_2(x), ..., Y_n(x)在I上线性相关；（ ）A. 对B. 错

本题考查向量函数组线性相关与朗斯基行列式的关系。解题的关键在于明确朗斯基行列式为零与向量函数组线性相关之间的充分必要条件。

1. 明确相关定理

对于向量函数组$Y_1(x), Y_2(x), \cdots, Y_n(x)$，有如下重要结论：

• 若向量函数组$Y_1(x), Y_2(x), \cdots, Y_n(x)$在区间$I$上线性相关，则其朗斯基行列式$W(x)$在区间$I$上恒为$0$。
• 若向量函数组$Y_1(x), Y_2(x), \cdots, Y_n(x)$是区间$I$上某$n$阶线性齐次微分方程的解，且其朗斯基行列式$W(x)$在区间$I$上某点$x_0$处有$W(x_0) = 0$，那么该向量函数组在区间$I$上线性相关。

2. 分析本题情况

本题仅告知向量函数组$Y_1(x), Y_2(x), \cdots, Y_n(x)$的朗斯基行列式$W(x)$在区间$I$上某点$x_0$处有$W(x_0) = 0$，并没有说明该向量函数组是某$n$阶线性齐次微分方程的解。

3. 举反例说明

考虑两个向量函数$Y_1(x)=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$，$Y_2(x)=\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}$，它们的朗斯基行列式为：
$W(x)=\begin{vmatrix}1&x\\0&0\end{vmatrix}=1\times0 - x\times0 = 0$，在$x = 0$处$W(0) = 0$。
假设存在不全为零的常数$c_1$，$c_2$，使得$c_1Y_1(x)+c_2Y_2(x)=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$，即$c_1\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c_1 + c_2x\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$。
对于$c_1 + c_2x = 0$，若$c_2\neq0$，它是关于$x$的一次函数，不可能恒为$0$；若$c_2 = 0$，则$c_1 = 0$，所以$Y_1(x)$，$Y_2(x)$线性无关。
这表明仅由朗斯基行列式在某点为零，不能得出向量函数组线性相关的结论。