题目

3.如题13.3.3图所示,通有电流 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_2ecdee12a11191049b435d4fa3886ff4.jpg=5A 的长直导线AB旁放置一导体细棒CD,CD-|||-与AB共面并垂直,CD长 =2m, 棒端C距AB为 =1m, CD以匀速率 v=2m/s 平行-|||-于AB运动,(1)在题图上标出用于求棒CD中动生电动势的元线段,并标出该元线段中-|||-元动生电动势的方向,写出元动生电动势的表达式;(2)棒CD中的动生电动势。-|||-B!-|||-D-|||-C D-|||-a-|||-1-|||-A-|||-题13.3.3图

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查动生电动势的计算，涉及非均匀磁场中导体运动产生的电动势。关键在于理解磁场分布、动生电动势的微分表达式及积分方法。

解题思路：

  1. 磁场分析：长直导线产生的磁场为 $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi x}$，方向垂直纸面向里。
  2. 微分元处理：在导体棒CD上取微小线元 $dx$，计算该点的动生电动势。
  3. 方向判断：通过 $\vec{v} \times \vec{B}$ 的方向确定电动势方向，注意积分路径与电动势方向的关系。
  4. 积分求和：对棒CD全长积分，代入已知量计算总电动势。

第（1）题

磁场分布

长直导线AB在空间产生的磁场大小为：
$B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi x}$
其中 $x$ 为距导线AB的距离，方向垂直纸面向里。

元线段与方向

在导体棒CD上取微小线元 $dx$，其距离导线AB的横坐标为 $x$。棒CD以速度 $\vec{v}$ 平行于AB运动，$\vec{v} \times \vec{B}$ 的方向由右手法则确定为垂直纸面向下。由于积分路径从C到D（沿棒方向），而电动势方向与此路径相反，故元电动势方向为从D到C。

元电动势表达式

元电动势大小为：
$d\varepsilon = (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot dx = vB \cos\pi \, dx = -v \dfrac{\mu_0 I}{2\pi x} dx$

第（2）题

积分路径与变量

棒CD的端点C距离AB为 $a = 1\,\text{m}$，长度 $l = 2\,\text{m}$，因此积分变量 $x$ 的范围为 $a$ 到 $a + l$，即 $x$ 从 $1\,\text{m}$ 到 $3\,\text{m}$。

总电动势计算

总电动势为：
$\varepsilon = \int_{a}^{a+l} d\varepsilon = -\dfrac{\mu_0 I v}{2\pi} \int_{1}^{3} \dfrac{1}{x} dx = -\dfrac{\mu_0 I v}{2\pi} \ln \dfrac{a + l}{a}$

代入数值

已知 $I = 5\,\text{A}$，$v = 2\,\text{m/s}$，$a = 1\,\text{m}$，$l = 2\,\text{m}$，$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\text{H/m}$：
$\varepsilon = -\dfrac{(4\pi \times 10^{-7}) \cdot 5 \cdot 2}{2\pi} \ln 3 = -2 \times 10^{-4} \ln 3 \approx -2.2 \times 10^{-4}\,\text{V}$
负号表示电动势方向为D到C，即C点电势高于D点。