2.lim_(xtoinfty)((x+1)/(x))^-(x)/(2)= （ ）A.e^-2 B.e^-(1)/(2) C.e^(1)/(2) D.e^2

为了求解极限 $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+1}{x}\right)^{-\frac{x}{2}}$，我们可以使用自然对数和指数函数的性质。下面是一个逐步的解题过程：

1. 将表达式改写为指数形式：
   $\left(\frac{x+1}{x}\right)^{-\frac{x}{2}} = e^{\ln\left(\left(\frac{x+1}{x}\right)^{-\frac{x}{2}}\right)}$
   利用对数的性质 $\ln(a^b) = b\ln(a)$，我们得到：
   $\ln\left(\left(\frac{x+1}{x}\right)^{-\frac{x}{2}}\right) = -\frac{x}{2} \ln\left(\frac{x+1}{x}\right)$
   所以，原极限可以写为：
   $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+1}{x}\right)^{-\frac{x}{2}} = \lim_{x\to\infty} e^{-\frac{x}{2} \ln\left(\frac{x+1}{x}\right)}$

2. 求解指数部分的极限：
   我们需要求解：
   $\lim_{x\to\infty} -\frac{x}{2} \ln\left(\frac{x+1}{x}\right)$
   首先，简化对数内的表达式：
   $\frac{x+1}{x} = 1 + \frac{1}{x}$
   所以，极限变为：
   $\lim_{x\to\infty} -\frac{x}{2} \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)$

3. 使用对数的近似：
   当 $x$ 趋于无穷大时，$\frac{1}{x}$ 趋于 0。对于小的 $y$，我们有 $\ln(1 + y) \approx y$。因此，当 $x$ 趋于无穷大时，$\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \approx \frac{1}{x}$。代入这个近似，我们得到：
   $\lim_{x\to\infty} -\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{x} = \lim_{x\to\infty} -\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$

4. 将结果代回指数形式：
   $\lim_{x\to\infty} e^{-\frac{x}{2} \ln\left(\frac{x+1}{x}\right)} = e^{-\frac{1}{2}}$

因此，原极限的值是 $e^{-\frac{1}{2}}$。正确答案是 $\boxed{B}$。