题目
6-9 一圆盘半径 =3.00times (10)^-2m. 圆盘均匀带电,电-|||-荷面密度 sigma =2.00times (10)^-5Ccdot (m)^-2 (1)求轴线上的电势分布;-|||-(2)根据电场强度和电势梯度的关系求电场分布;(3)计算-|||-离盘心30.0 cm处的电势和电场强度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算圆盘上半径为r的带电细圆环在轴线上任意一点P激发的电势
圆盘上半径为r的带电细圆环在轴线上任意一点P激发的电势为 $dV=\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {\sigma \cdot 2\pi rdr}{\sqrt {{r}^{2}+{x}^{2}}}$，其中 $\sigma$ 是电荷面密度，$r$ 是圆环的半径，$x$ 是轴线上任意一点P到圆盘中心的距离，${\varepsilon }_{0}$ 是真空介电常数。
步骤 2：计算轴线上任一点P的电势
由电势叠加，轴线上任一点P的电势为 $V=\dfrac {\sigma }{2{\varepsilon }_{0}}{\int }_{0}^{k}\dfrac {rdr}{\sqrt {{r}^{2}+{x}^{2}}}=\dfrac {\sigma }{2{\varepsilon }_{0}}(\sqrt {{R}^{2}+{x}^{2}}-x)$，其中 $R$ 是圆盘的半径。
步骤 3：计算轴线上任一点P的电场强度
轴线上任一点P的电场强度为 $E=-\dfrac {dy}{dx}i=\dfrac {\sigma }{2{\varepsilon }_{0}}(1-\dfrac {x}{\sqrt {{R}^{2}+{x}^{2}}})$，电场强度方向沿x轴方向。
步骤 4：计算离盘心30.0cm处的电势和电场强度
将场点至盘心的距离 $x=30.0cm$ 分别代入式(1)和式(2)，得 $V=1691V$ 和 $E=5608V\cdot {m}^{-1}$。
圆盘上半径为r的带电细圆环在轴线上任意一点P激发的电势为 $dV=\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {\sigma \cdot 2\pi rdr}{\sqrt {{r}^{2}+{x}^{2}}}$，其中 $\sigma$ 是电荷面密度，$r$ 是圆环的半径，$x$ 是轴线上任意一点P到圆盘中心的距离，${\varepsilon }_{0}$ 是真空介电常数。
步骤 2：计算轴线上任一点P的电势
由电势叠加，轴线上任一点P的电势为 $V=\dfrac {\sigma }{2{\varepsilon }_{0}}{\int }_{0}^{k}\dfrac {rdr}{\sqrt {{r}^{2}+{x}^{2}}}=\dfrac {\sigma }{2{\varepsilon }_{0}}(\sqrt {{R}^{2}+{x}^{2}}-x)$，其中 $R$ 是圆盘的半径。
步骤 3：计算轴线上任一点P的电场强度
轴线上任一点P的电场强度为 $E=-\dfrac {dy}{dx}i=\dfrac {\sigma }{2{\varepsilon }_{0}}(1-\dfrac {x}{\sqrt {{R}^{2}+{x}^{2}}})$，电场强度方向沿x轴方向。
步骤 4：计算离盘心30.0cm处的电势和电场强度
将场点至盘心的距离 $x=30.0cm$ 分别代入式(1)和式(2)，得 $V=1691V$ 和 $E=5608V\cdot {m}^{-1}$。