【题目】30名学生中有3名运动员,将这30名学生平均分成3组,求(1)每组有一名运动员的概率;(2)3名运动员集中在一个组的概率

考查要点：本题主要考查组合概率的计算，涉及分组问题中的排列组合应用，需要正确处理分组是否考虑顺序的情况。

解题核心思路：

1. 总分法数：将30人平均分成3组（每组10人），需注意组的顺序不产生影响，因此总分法数为 $\frac{C_{30}^{10} \cdot C_{20}^{10}}{3!}$。
2. 有利事件数：
   • （1）每组一名运动员：先将3名运动员分配到不同组，再分配剩余学生，利用分步概率或组合数计算。
   • （2）运动员集中在同一组：计算运动员全部分配到某一组的概率，再乘以组数。

破题关键点：

• 分组顺序的处理：总分法数需除以组数的阶乘消除重复。
• 分步概率法：通过逐步分配运动员的位置，简化组合数的复杂计算。

（1）每组有一名运动员的概率

步骤1：计算总分法数

将30人分成3组（每组10人），总分法数为：
$m = \frac{C_{30}^{10} \cdot C_{20}^{10}}{3!}$

步骤2：计算有利事件数

1. 分配运动员：3名运动员分别进入不同组，有 $3!$ 种方式。
2. 分配剩余学生：将27名学生分成3组（每组9人），分法数为：
   $C_{27}^{9} \cdot C_{18}^{9} \cdot C_{9}^{9}$
   因此，有利事件数为：
   $n = 3! \cdot \frac{C_{27}^{9} \cdot C_{18}^{9}}{1}$

步骤3：计算概率

概率为：
$P = \frac{n}{m} = \frac{3! \cdot \frac{27!}{9!9!9!}}{\frac{30!}{10!10!10!3!}} = \frac{10 \times 10 \times 10 \times 6}{30 \times 29 \times 28} = \frac{50}{203}$

（2）3名运动员集中在同一组的概率

步骤1：计算有利事件数

1. 选择目标组：3组中任选1组，有3种选择。
2. 分配运动员：将3名运动员放入目标组，再从剩余27人中选7人补充该组，剩余20人分成两组（每组10人），分法数为：
   $C_{27}^{7} \cdot \frac{C_{20}^{10} \cdot C_{10}^{10}}{2!}$
   因此，有利事件数为：
   $r = 3 \cdot \frac{C_{27}^{7} \cdot C_{20}^{10}}{2!}$

步骤2：计算概率

概率为：
$P = \frac{r}{m} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 3}{30 \times 29 \times 28} = \frac{18}{203}$