单选题（共15题，30.0分） 题型说明：从备选答案中选出一个正确答案，错选、不选均不得分。 9.（2.0分）y=sqrt[3](x)在x=0处A. 不连续但可导B. 既连续又可导C. 连续但不可导D. 既不连续又不可导

考查要点：本题主要考查函数在某一点的连续性和可导性的判断，需要掌握连续的定义和导数存在的条件。

解题核心思路：

1. 连续性：验证当$x \to 0$时，函数值的极限是否等于$f(0)$。
2. 可导性：通过导数的定义或求导公式，判断导数在$x=0$处是否存在。

破题关键点：

• 三次根函数的特性：$y = \sqrt[3]{x}$在$x=0$处函数值为$0$，且左右极限均存在且等于函数值，因此连续。
• 导数的计算：直接求导后，发现分母在$x=0$处为$0$，导致导数不存在。

连续性分析

当$x \to 0$时，$\sqrt[3]{x} \to 0$，而$f(0) = \sqrt[3]{0} = 0$。因此，函数在$x=0$处满足连续的定义。

可导性分析

1. 求导公式：
   对$y = x^{1/3}$求导，得：
   $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3x^{2/3}}$
2. 代入$x=0$：
   当$x=0$时，分母$3x^{2/3} = 0$，导致$f'(0)$无意义，即导数不存在。

结论：函数在$x=0$处连续但不可导。