题目
设随机变量X表示桥梁的动力荷载的大小(单位：N)，其概率密度为f(x)=}(1)/(8)+(3)/(8)x, & 0le xle 2,0, & 其他.则(1)分布函数F(x)=}0, & x<0,第1空, & 0le x<2,1, & xge 2.(2)P(1<1.5)=第2空; P(X>1)=第3空
设随机变量X表示桥梁的动力荷载的大小(单位：N)，其概率密度为
$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{8}+\frac{3}{8}x, & 0\le x\le 2,\\0, & 其他.\end{cases}$
则(1)分布函数
$F(x)=\begin{cases}0, & x<0,\\第1空, & 0\le x<2,\\1, & x\ge 2.\end{cases}$
(2)
P(1<1.5)=第2空; P(X>1)=第3空
题目解答
答案
(1) 分布函数 $F(x)$：
- 当 $x < 0$ 时，$F(x) = 0$；
- 当 $0 \le x < 2$ 时，
\[
F(x) = \int_0^x \left( \frac{1}{8} + \frac{3}{8}t \right) \, dt = \frac{1}{8}x + \frac{3}{16}x^2；
\]
- 当 $x \ge 2$ 时，$F(x) = 1$。
(2) 概率计算：
- $P(1 < X < 1.5) = F(1.5) - F(1) = \left( \frac{1}{8} \cdot 1.5 + \frac{3}{16} \cdot 2.25 \right) - \left( \frac{1}{8} + \frac{3}{16} \right) = \frac{19}{64}$；
- $P(X > 1) = 1 - F(1) = 1 - \left( \frac{1}{8} + \frac{3}{16} \right) = \frac{11}{16}$。
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
(1) & \frac{1}{8}x + \frac{3}{16}x^2 \\
(2) & \frac{19}{64} \\
(3) & \frac{11}{16} \\
\end{array}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查概率密度函数与分布函数的关系，以及利用分布函数计算概率的基本方法。
解题思路：
- 分布函数的求解：分布函数$F(x)$是概率密度函数$f(x)$的积分。根据$f(x)$的分段定义，分区间讨论积分结果。
- 概率计算：利用分布函数的性质，通过计算$F(b) - F(a)$得到区间概率，或通过$1 - F(a)$计算右侧概率。
关键点：
- 积分区间划分：注意$f(x)$在不同区间的表达式，正确选择积分上下限。
- 分布函数的连续性：在$x=0$和$x=2$处验证分布函数的连续性。
(1) 求分布函数$F(x)$
分布函数定义为$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt$，分三段讨论：
- 当$x < 0$时：$f(t) = 0$，故$F(x) = 0$。
- 当$0 \le x < 2$时：
$F(x) = \int_0^x \left( \frac{1}{8} + \frac{3}{8}t \right) dt = \frac{1}{8}x + \frac{3}{16}x^2.$ - 当$x \ge 2$时：
$F(x) = \int_0^2 \left( \frac{1}{8} + \frac{3}{8}t \right) dt = 1.$
(2) 计算概率
第2空：$P(1 < X < 1.5)$
利用分布函数差值：
$\begin{aligned}P(1 < X < 1.5) &= F(1.5) - F(1) \\&= \left( \frac{1}{8} \cdot 1.5 + \frac{3}{16} \cdot 1.5^2 \right) - \left( \frac{1}{8} \cdot 1 + \frac{3}{16} \cdot 1^2 \right) \\&= \frac{19}{64}.\end{aligned}$
第3空：$P(X > 1)$
利用补集性质：
$\begin{aligned}P(X > 1) &= 1 - F(1) \\&= 1 - \left( \frac{1}{8} + \frac{3}{16} \right) \\&= \frac{11}{16}.\end{aligned}$