题目

9、填空 D是由直线 y=x，x=-1，y=1 和所围成的闭区域，则二重积分intint_(D)4ysqrt(1+x^2)-y^(2)dsigma等于_。 (2分)

9、填空 D是由直线 y=x，x=-1，y=1 和所围成的闭区域，则二重积分$\int\int_{D}4y\sqrt{1+x^{2}-y^{2}}d\sigma$等于_。 (2分)

题目解答

答案

将积分区域 $D$ 表示为 $-1 \leq x \leq 1$，$x \leq y \leq 1$，则二重积分为： $$ \int_{-1}^{1} \int_{x}^{1} 4y \sqrt{1 + x^2 - y^2} \, dy \, dx. $$ 令 $u = 1 + x^2 - y^2$，则 $du = -2y \, dy$，积分变为： $$ \int_{-1}^{1} \left[ -2 \int_{1}^{x^2} \sqrt{u} \, du \right] dx = \int_{-1}^{1} \left[ \frac{4}{3} (1 - |x|^3) \right] dx. $$ 由于 $|x|^3$ 是偶函数，利用对称性得： $$ \int_{-1}^{1} |x|^3 \, dx = 2 \int_{0}^{1} x^3 \, dx = \frac{1}{2}. $$ 因此，原积分为： $$ \frac{4}{3} \left[ 2 - \frac{1}{2} \right] = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} = 2. $$ 答案：$\boxed{2}$

解析

本题考查二重积分的计算，解题思路是先根据积分区域确定积分限，将二重积分化为累次积分，再通过换元法计算内层积分，最后利用积分的对称性计算外层积分。

  1. 确定积分区域并将二重积分化为累次积分：
    已知积分区域 $D$ 是由直线 $y = x$，$x = -1$，$y = 1$ 所围成的闭区域，可将其表示为$-1\leqslant x\leqslant 1$，$x\leqslant y\leqslant 1$。
    根据二重积分化为累次积分的方法，可得$\iint_{D}4y\sqrt{1 + x^{2}-y^{2}}d\sigma=\int_{-1}^{1}\int_{x}^{1}4y\sqrt{1 + x^{2}-y^{2}}dydx$。
  2. 计算内层积分：
    令 $u = 1 + x^{2}-y^{2}$，对 $u$ 求关于 $y$ 的导数，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得$du=-2ydy$。
    当 $y = x$ 时，$u = 1 + x^{2}-x^{2}=1$；当 $y = 1$ 时，$u = 1 + x^{2}-1=x^{2}$。
    则$\int_{x}^{1}4y\sqrt{1 + x^{2}-y^{2}}dy=\int_{1}^{x^{2}}-2\sqrt{u}du$。
    根据积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C(n\neq -1)$，可得$\int_{1}^{x^{2}}-2\sqrt{u}du=-2\times\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\big|_{1}^{x^{2}}=\frac{4}{3}(1 - |x|^{3})$。
    所以$\int_{-1}^{1}\int_{x}^{1}4y\sqrt{1 + x^{2}-y^{2}}dydx=\int_{-1}^{1}\frac{4}{3}(1 - |x|^{3})dx$。
  3. 计算外层积分：
    因为$|x|^{3}$是偶函数，根据偶函数在对称区间上的积分性质$\int_{-a}^{a}f(x)dx = 2\int_{0}^{a}f(x)dx$，可得$\int_{-1}^{1}|x|^{3}dx = 2\int_{0}^{1}x^{3}dx$。
    再根据积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C(n\neq -1)$，可得$2\int_{0}^{1}x^{3}dx=2\times\frac{1}{4}x^{4}\big|_{0}^{1}=\frac{1}{2}$。
    则$\int_{-1}^{1}\frac{4}{3}(1 - |x|^{3})dx=\frac{4}{3}\left(2 - \frac{1}{2}\right)$。
  4. 计算最终结果：
    $\frac{4}{3}\left(2 - \frac{1}{2}\right)=\frac{4}{3}\times\frac{3}{2}=2$。