[1.6]设f(x)为随机变量X的密度函数,若对于常数c有-|||-f(c+x)=f(c-x) , gt 0-|||-且EX存在,试证明 =c.

考查要点：本题主要考查概率密度函数的对称性与数学期望的关系，以及变量替换在积分中的应用。

解题核心思路：
题目中给出密度函数$f(x)$关于点$c$对称，即$f(c+x)=f(c-x)$（$x>0$）。关键点在于利用对称性简化数学期望的积分表达式。通过变量替换$x = c + t$，将原积分转化为关于$t$的对称积分，进而利用奇偶函数的积分性质得出结果。

破题关键：

1. 变量替换：将积分变量从$x$转换为$t = x - c$，使对称性更直观。
2. 拆分积分：将数学期望的积分拆分为两部分，分别处理。
3. 对称性应用：利用$f(c+t)$的对称性，证明第二部分积分为零。

步骤1：变量替换
设$x = c + t$，则当$x$从$-\infty$到$+\infty$时，$t$也从$-\infty$到$+\infty$。数学期望可表示为：
$\begin{aligned}E(X) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx \\&= \int_{-\infty}^{+\infty} (c + t) f(c + t) \, dt \quad (\text{变量替换} \, x = c + t).\end{aligned}$

步骤2：拆分积分
将积分拆分为两部分：
$\int_{-\infty}^{+\infty} (c + t) f(c + t) \, dt = c \int_{-\infty}^{+\infty} f(c + t) \, dt + \int_{-\infty}^{+\infty} t f(c + t) \, dt.$

步骤3：计算第一部分积分
第一部分积分是密度函数$f(x)$的归一化积分：
$c \int_{-\infty}^{+\infty} f(c + t) \, dt = c \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = c \cdot 1 = c.$

步骤4：分析第二部分积分
第二部分积分为：
$\int_{-\infty}^{+\infty} t f(c + t) \, dt.$
利用对称性：由题意$f(c + t) = f(c - t)$（对称性），令$t = -s$，则当$t < 0$时，积分变为：
$\int_{-\infty}^{0} t f(c + t) \, dt = \int_{+\infty}^{0} (-s) f(c - s) (-ds) = \int_{0}^{+\infty} (-s) f(c + s) \, ds.$
因此，原积分可拆分为：
$\int_{0}^{+\infty} t f(c + t) \, dt + \int_{0}^{+\infty} (-t) f(c + t) \, dt = 0.$

结论：
$E(X) = c + 0 = c.$