题目
在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，3）和点B（1，0），顶点为D，点P是抛物线上一动点，其横坐标为m．（1）求该抛物线函数关系式．（2）当点P在抛物线对称轴左侧时，过点P作PC⊥y轴交抛物线对称轴于点C，若tan∠PDC=(1)/(3)，求m的值．（3）记抛物线在点P、B两点之间的部分为图象G（包含P、B两点），设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当1≤d≤4时，求m的取值范围．（4）点Q（2m-1，4-2m）是平面内一点，当PQ不与坐标轴平行时，以PQ为对角线构造矩形PMQN，使矩形各边与坐标轴垂直，当抛物线在矩形PMQN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，3）和点B（1，0），顶点为D，点P是抛物线上一动点，其横坐标为m．
（1）求该抛物线函数关系式．
（2）当点P在抛物线对称轴左侧时，过点P作PC⊥y轴交抛物线对称轴于点C，若tan∠PDC=$\frac{1}{3}$，求m的值．
（3）记抛物线在点P、B两点之间的部分为图象G（包含P、B两点），设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当1≤d≤4时，求m的取值范围．
（4）点Q（2m-1，4-2m）是平面内一点，当PQ不与坐标轴平行时，以PQ为对角线构造矩形PMQN，使矩形各边与坐标轴垂直，当抛物线在矩形PMQN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
（1）求该抛物线函数关系式．
（2）当点P在抛物线对称轴左侧时，过点P作PC⊥y轴交抛物线对称轴于点C，若tan∠PDC=$\frac{1}{3}$，求m的值．
（3）记抛物线在点P、B两点之间的部分为图象G（包含P、B两点），设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当1≤d≤4时，求m的取值范围．
（4）点Q（2m-1，4-2m）是平面内一点，当PQ不与坐标轴平行时，以PQ为对角线构造矩形PMQN，使矩形各边与坐标轴垂直，当抛物线在矩形PMQN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
题目解答
答案
解：（1）由题可知，将点A，B代入抛物线的关系式中，得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{0=1+b+c}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$
∴该抛物线的函数关系式为y=x2-4x+3；
（2）∵点P是抛物线上的一点，且横坐标为m，
∴P（m，m2-4m+3），
∵抛物线的对称轴为α=2，D（2，-1），且PC⊥y轴于点C，
∴C（2，m2-4m+3），
∴PC=2-m，CD=m2-4m+3+1，
∴tan∠PDC=$\frac{PC}{CD}$=$\frac{2-m}{{m}^{2}-4m+4}$=$\frac{1}{3}$，
解得m=-1或2（舍），
∴m=-1．
（3）当m＜1时，令1≤m2-4m+3≤4，
解得2-$\sqrt{5}$≤m≤2-$\sqrt{2}$，符合题意；
当1≤m≤3时，图象G的最高点与最低点的纵坐标之差d的范围为0≤d≤1，
且当2≤m≤3时，d=1，符合题意；
当m＞3时，令0＜m2-4m+3≤3，解得3＜m≤4，符合题意；
综上所述：2-$\sqrt{5}$≤m≤2-$\sqrt{2}$或2≤m≤4．
（4）根据题意可知，这部分图象在抛物线对称轴x=2同一侧，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{2m-1≤2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≥2}\\{2m-1≥2}\end{array}\right.$，
解得m≤$\frac{3}{2}$或m≥2．
解得，$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$
∴该抛物线的函数关系式为y=x2-4x+3；
（2）∵点P是抛物线上的一点，且横坐标为m，
∴P（m，m2-4m+3），
∵抛物线的对称轴为α=2，D（2，-1），且PC⊥y轴于点C，
∴C（2，m2-4m+3），
∴PC=2-m，CD=m2-4m+3+1，
∴tan∠PDC=$\frac{PC}{CD}$=$\frac{2-m}{{m}^{2}-4m+4}$=$\frac{1}{3}$，
解得m=-1或2（舍），
∴m=-1．
（3）当m＜1时，令1≤m2-4m+3≤4，
解得2-$\sqrt{5}$≤m≤2-$\sqrt{2}$，符合题意；
当1≤m≤3时，图象G的最高点与最低点的纵坐标之差d的范围为0≤d≤1，
且当2≤m≤3时，d=1，符合题意；
当m＞3时，令0＜m2-4m+3≤3，解得3＜m≤4，符合题意；
综上所述：2-$\sqrt{5}$≤m≤2-$\sqrt{2}$或2≤m≤4．
（4）根据题意可知，这部分图象在抛物线对称轴x=2同一侧，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{2m-1≤2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≥2}\\{2m-1≥2}\end{array}\right.$，
解得m≤$\frac{3}{2}$或m≥2．
解析
步骤 1：代入点A和点B的坐标
将点A（0，3）和点B（1，0）代入抛物线方程y=x^{2}+bx+c中，得到两个方程。
步骤 2：解方程组
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{0=1+b+c}\end{array}\right.$，得到b和c的值。
步骤 3：写出抛物线方程
将b和c的值代入抛物线方程中，得到抛物线的函数关系式。
【答案】
该抛物线的函数关系式为y=x^{2}-4x+3。
（2）当点P在抛物线对称轴左侧时，过点P作PC⊥y轴交抛物线对称轴于点C，若tan∠PDC=$\frac{1}{3}$，求m的值．
【解析】
步骤 1：确定点P的坐标
点P的横坐标为m，代入抛物线方程得到点P的纵坐标。
步骤 2：确定点C的坐标
点C在抛物线的对称轴上，对称轴的方程为x=2，代入点P的纵坐标得到点C的坐标。
步骤 3：计算tan∠PDC
根据点P和点C的坐标，计算tan∠PDC的值，得到关于m的方程。
步骤 4：解方程
解方程得到m的值。
【答案】
m=-1。
（3）记抛物线在点P、B两点之间的部分为图象G（包含P、B两点），设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当1≤d≤4时，求m的取值范围．
【解析】
步骤 1：确定图象G的最高点和最低点
根据抛物线的性质，确定图象G的最高点和最低点。
步骤 2：计算d的范围
根据最高点和最低点的纵坐标，计算d的范围。
步骤 3：确定m的取值范围
根据d的范围，确定m的取值范围。
【答案】
2-$\sqrt{5}$≤m≤2-$\sqrt{2}$或2≤m≤4。
（4）点Q（2m-1，4-2m）是平面内一点，当PQ不与坐标轴平行时，以PQ为对角线构造矩形PMQN，使矩形各边与坐标轴垂直，当抛物线在矩形PMQN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
【解析】
步骤 1：确定矩形PMQN的性质
根据矩形PMQN的性质，确定矩形PMQN的各边与坐标轴垂直。
步骤 2：确定抛物线在矩形PMQN内的部分
根据抛物线的性质，确定抛物线在矩形PMQN内的部分。
步骤 3：确定m的取值范围
根据抛物线在矩形PMQN内的部分，确定m的取值范围。
将点A（0，3）和点B（1，0）代入抛物线方程y=x^{2}+bx+c中，得到两个方程。
步骤 2：解方程组
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{0=1+b+c}\end{array}\right.$，得到b和c的值。
步骤 3：写出抛物线方程
将b和c的值代入抛物线方程中，得到抛物线的函数关系式。
【答案】
该抛物线的函数关系式为y=x^{2}-4x+3。
（2）当点P在抛物线对称轴左侧时，过点P作PC⊥y轴交抛物线对称轴于点C，若tan∠PDC=$\frac{1}{3}$，求m的值．
【解析】
步骤 1：确定点P的坐标
点P的横坐标为m，代入抛物线方程得到点P的纵坐标。
步骤 2：确定点C的坐标
点C在抛物线的对称轴上，对称轴的方程为x=2，代入点P的纵坐标得到点C的坐标。
步骤 3：计算tan∠PDC
根据点P和点C的坐标，计算tan∠PDC的值，得到关于m的方程。
步骤 4：解方程
解方程得到m的值。
【答案】
m=-1。
（3）记抛物线在点P、B两点之间的部分为图象G（包含P、B两点），设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当1≤d≤4时，求m的取值范围．
【解析】
步骤 1：确定图象G的最高点和最低点
根据抛物线的性质，确定图象G的最高点和最低点。
步骤 2：计算d的范围
根据最高点和最低点的纵坐标，计算d的范围。
步骤 3：确定m的取值范围
根据d的范围，确定m的取值范围。
【答案】
2-$\sqrt{5}$≤m≤2-$\sqrt{2}$或2≤m≤4。
（4）点Q（2m-1，4-2m）是平面内一点，当PQ不与坐标轴平行时，以PQ为对角线构造矩形PMQN，使矩形各边与坐标轴垂直，当抛物线在矩形PMQN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
【解析】
步骤 1：确定矩形PMQN的性质
根据矩形PMQN的性质，确定矩形PMQN的各边与坐标轴垂直。
步骤 2：确定抛物线在矩形PMQN内的部分
根据抛物线的性质，确定抛物线在矩形PMQN内的部分。
步骤 3：确定m的取值范围
根据抛物线在矩形PMQN内的部分，确定m的取值范围。