24.(2007年数一、二、三、四)设线性方程组-|||- _{3)=0=a-1-|||-有公共解,求a的值及所有公共解.-|||-(1)-|||-(2)

考查要点：本题主要考查齐次方程组与非齐次方程有公共解的条件，以及参数$a$的求解方法。关键在于联立两个方程组，分析解的存在性。

解题思路：

1. 齐次方程组有非零解的条件：系数矩阵行列式为零，求出$a$的可能值。
2. 非齐次方程与齐次方程组的公共解：将非齐次方程代入齐次方程组，验证是否存在满足所有方程的解。
3. 分类讨论：分别对$a=1$和$a=2$的情况，求出对应的公共解。

破题关键：

• 行列式法确定$a$的可能值。
• 解空间分析：通过行变换求齐次方程组的基础解系。
• 特解验证：将非齐次方程代入齐次方程组，求出具体解。

步骤1：求齐次方程组有非零解的条件

齐次方程组的系数矩阵为：
$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\1 & 2 & a \\1 & 4 & a^2\end{pmatrix}$
计算行列式：
$\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\1 & 2 & a \\1 & 4 & a^2\end{vmatrix} = (a-1)(a-2)$
令行列式为零，得$a=1$或$a=2$。

步骤2：分析$a=1$的情况

齐次方程组变为：
$\begin{cases}x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\x_1 + 2x_2 + x_3 = 0 \\x_1 + 4x_2 + x_3 = 0\end{cases}$
通过行变换化简，得基础解系为$(-1, 0, 1)$，解空间为$k(-1, 0, 1)$。
非齐次方程$x_1 + 2x_2 + x_3 = 0$与第二个方程相同，所有解均满足，故公共解为$k(-1, 0, 1)$。

步骤3：分析$a=2$的情况

齐次方程组变为：
$\begin{cases}x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 0 \\x_1 + 4x_2 + 4x_3 = 0\end{cases}$
化简得基础解系为$(0, -1, 1)$，解空间为$k(0, -1, 1)$。
非齐次方程$x_1 + 2x_2 + x_3 = 1$代入解得$k=-1$，对应解为$(0, 1, -1)$。