题目
若 f(x) 与 F(x) 分别为连续型随机变量 X 的密度函数与分布函数，则等式(）成立。A. P(a B. P(a C. P(a D. P(a
若 $f(x)$ 与 $F(x)$ 分别为连续型随机变量 $X$ 的密度函数与分布函数，则等式(）成立。
A. $P(a < X \leq b)= \int_{-\infty}^{+\infty} F(x)dx$
B. $P(a < X \leq b)= \int_{a}^{b} F(x)dx$
C. $P(a < X \leq b)= \int_{a}^{b} f(x)dx$
D. $P(a < X \leq b)= \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx$
题目解答
答案
C. $P(a < X \leq b)= \int_{a}^{b} f(x)dx$
解析
步骤 1：理解概率密度函数与分布函数
连续型随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f(x)$ 描述了随机变量在某一点的“密度”，而分布函数 $F(x)$ 则表示随机变量 $X$ 小于等于 $x$ 的概率，即 $F(x) = P(X \leq x)$。
步骤 2：确定概率计算方式
对于连续型随机变量 $X$，落在区间 $(a, b]$ 内的概率由密度函数 $f(x)$ 在该区间上的积分表示，即：\[ P(a < X \leq b) = \int_a^b f(x) \, dx \]
步骤 3：分析选项
- **A**：积分范围为全实数，被积函数为分布函数 $F(x)$，不对应概率定义。
- **B**：积分范围为 $[a, b]$，但被积函数为分布函数 $F(x)$，非密度函数。
- **C**：积分范围为 $[a, b]$，被积函数为密度函数 $f(x)$，符合概率定义。
- **D**：积分范围为全实数，被积函数为密度函数 $f(x)$，结果为1，非特定区间概率。
连续型随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f(x)$ 描述了随机变量在某一点的“密度”，而分布函数 $F(x)$ 则表示随机变量 $X$ 小于等于 $x$ 的概率，即 $F(x) = P(X \leq x)$。
步骤 2：确定概率计算方式
对于连续型随机变量 $X$，落在区间 $(a, b]$ 内的概率由密度函数 $f(x)$ 在该区间上的积分表示，即：\[ P(a < X \leq b) = \int_a^b f(x) \, dx \]
步骤 3：分析选项
- **A**：积分范围为全实数，被积函数为分布函数 $F(x)$，不对应概率定义。
- **B**：积分范围为 $[a, b]$，但被积函数为分布函数 $F(x)$，非密度函数。
- **C**：积分范围为 $[a, b]$，被积函数为密度函数 $f(x)$，符合概率定义。
- **D**：积分范围为全实数，被积函数为密度函数 $f(x)$，结果为1，非特定区间概率。