曲面z=x^2+y^2在点(-1,2,5)处的切平面方程为()A. 2x+4y+z+5=0B. 2x-4y+z+5=0C. 2x-4y-z+5=0D. 2x+4y-z-5=0

考查要点：本题主要考查曲面在某点处切平面方程的求解方法，涉及隐函数的梯度计算及点法式方程的应用。

解题核心思路：

1. 将曲面方程转化为隐函数形式，构造$F(x, y, z) = x^2 + y^2 - z = 0$；
2. 计算梯度向量$\nabla F$，其在给定点处的值即为切平面的法向量；
3. 利用点法式方程，代入法向量和给定点坐标，建立切平面方程。

破题关键点：

• 正确计算梯度：注意偏导数的符号，尤其是对$z$的偏导数为$-1$；
• 代入点坐标时符号处理：确保点法式方程中的$(x_0, y_0, z_0)$与原点坐标对应。

步骤1：构造隐函数形式

将曲面方程$z = x^2 + y^2$改写为隐函数形式：
$F(x, y, z) = x^2 + y^2 - z = 0$

步骤2：计算梯度向量

对$F(x, y, z)$求偏导数：
$\nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right) = (2x, 2y, -1)$

步骤3：代入给定点求法向量

在点$(-1, 2, 5)$处，梯度向量为：
$\nabla F(-1, 2, 5) = (2 \cdot (-1), 2 \cdot 2, -1) = (-2, 4, -1)$

步骤4：建立切平面方程

利用点法式方程：
$-2(x + 1) + 4(y - 2) - 1(z - 5) = 0$

步骤5：化简方程

展开并整理：
$-2x - 2 + 4y - 8 - z + 5 = 0 \\ -2x + 4y - z - 5 = 0 \\ \text{两边乘以$-1$得：} \quad 2x - 4y + z + 5 = 0$

对应选项B。