题目
例7 证明： 1^3+2^3+3^3+...+n^3=[(n)/(2)(n+1)]^2.
例7 证明：$ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=[\frac{n}{2}(n+1)]^{2}$.
题目解答
答案
**证明：**
1. **基础情况**：当 $ n=1 $ 时，左边 $=1^3=1$，右边 $=\left[ \frac{1(1+1)}{2} \right]^2=1$，等式成立。
2. **归纳假设**：假设 $ n=k $ 时，等式成立，即
\[
1^3 + 2^3 + \cdots + k^3 = \left[ \frac{k(k+1)}{2} \right]^2
\]
3. **归纳步骤**：当 $ n=k+1 $ 时，
\[
\text{左边} = \left[ \frac{k(k+1)}{2} \right]^2 + (k+1)^3 = \frac{k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3}{4} = \frac{(k+1)^2 [k^2 + 4(k+1)]}{4} = \frac{(k+1)^2 (k+2)^2}{4} = \left[ \frac{(k+1)(k+2)}{2} \right]^2
\]
等式成立。
**结论**：由数学归纳法，原等式对所有正整数 $ n $ 成立。
\[
\boxed{1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2}
\]
解析
考查要点：本题主要考查数学归纳法的应用，以及代数恒等式的证明能力。需要学生掌握归纳法的基本步骤，并能灵活进行代数变形。
解题核心思路：
- 基础步骤：验证当$n=1$时等式成立。
- 归纳假设：假设当$n=k$时等式成立。
- 归纳步骤：在归纳假设的基础上，证明当$n=k+1$时等式也成立。
关键点在于将归纳步骤中的表达式通过代数变形转化为目标形式，需注意因式分解和通分的技巧。
基础步骤
当$n=1$时，左边为$1^3=1$，右边为$\left[\frac{1 \cdot (1+1)}{2}\right]^2 = 1$，等式成立。
归纳假设
假设当$n=k$时等式成立，即：
$1^3 + 2^3 + \cdots + k^3 = \left[\frac{k(k+1)}{2}\right]^2.$
归纳步骤
当$n=k+1$时，左边为：
$\begin{aligned}\text{左边} &= \left[\frac{k(k+1)}{2}\right]^2 + (k+1)^3 \\&= \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3 \\&= \frac{(k+1)^2 \left[k^2 + 4(k+1)\right]}{4} \quad \text{（通分合并）} \\&= \frac{(k+1)^2 (k^2 + 4k + 4)}{4} \\&= \frac{(k+1)^2 (k+2)^2}{4} \quad \text{（因式分解）} \\&= \left[\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right]^2.\end{aligned}$
这与右边的表达式$\left[\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right]^2$一致，故等式成立。
结论：由数学归纳法，原等式对所有正整数$n$成立。