题目
[题目]如图①,在正方形ABCD中,点E为BC-|||-边的中点,P为对角线BD上的一点,连接AE交B-|||-D于点F,连接PA、PE、PC.-|||--1 D A D-|||-p p-|||-F F-|||-B C B C-|||-E E-|||-图① 图②-|||-(1)求证: PA=PC ;-|||-(2)若 =PC, 求证: ^2=PFcdot PB ;-|||-(3)如图②,若 Delta ADP ≌ Delta ABF, =6, 求PE的-|||-长.
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明PA=PC
在正方形ABCD中，对角线BD将正方形分成两个全等的等腰直角三角形ABD和BCD。由于点P在BD上，且E为BC的中点，因此，根据对称性，PA和PC分别对应于等腰直角三角形ABD和BCD的斜边上的点到直角顶点的距离，因此PA=PC。
步骤 2：证明${PE}^{2}=PF\cdot PB$
由于PE=PC，且PA=PC，因此PA=PE。在三角形ABP中，由于$\angle BAP=\angle ABP$，因此$\angle APE=\angle APB$。由于$\angle APE=\angle CBD=45^\circ$，因此$\angle AEP=\angle EPF=45^\circ$。因此，$\Delta EFP\sim \Delta BEP$，根据相似三角形的性质，有${PE}^{2}=PF\cdot PB$。
步骤 3：求PE的长度
由于$\Delta ADP$ ≌ $\Delta ABF$，因此AF=PC。由于AB=CD=BC=6，因此BF=PF。由于DP=PF=BF，因此$\dfrac {BP}{BD}=\dfrac {2}{3}$。因此，$PG=\dfrac {2CD}{3}=\dfrac {2\times 6}{3}=4$。由于$\angle CBD={45}^{\circ }$，因此$\angle BPG=90-\angle CBD={45}^{\circ }$。在$Rt\Delta PEG$中，$PE=\sqrt {{PC}^{2}+{EG}^{2}}=\sqrt {{4}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt {17}$。
在正方形ABCD中，对角线BD将正方形分成两个全等的等腰直角三角形ABD和BCD。由于点P在BD上，且E为BC的中点，因此，根据对称性，PA和PC分别对应于等腰直角三角形ABD和BCD的斜边上的点到直角顶点的距离，因此PA=PC。
步骤 2：证明${PE}^{2}=PF\cdot PB$
由于PE=PC，且PA=PC，因此PA=PE。在三角形ABP中，由于$\angle BAP=\angle ABP$，因此$\angle APE=\angle APB$。由于$\angle APE=\angle CBD=45^\circ$，因此$\angle AEP=\angle EPF=45^\circ$。因此，$\Delta EFP\sim \Delta BEP$，根据相似三角形的性质，有${PE}^{2}=PF\cdot PB$。
步骤 3：求PE的长度
由于$\Delta ADP$ ≌ $\Delta ABF$，因此AF=PC。由于AB=CD=BC=6，因此BF=PF。由于DP=PF=BF，因此$\dfrac {BP}{BD}=\dfrac {2}{3}$。因此，$PG=\dfrac {2CD}{3}=\dfrac {2\times 6}{3}=4$。由于$\angle CBD={45}^{\circ }$，因此$\angle BPG=90-\angle CBD={45}^{\circ }$。在$Rt\Delta PEG$中，$PE=\sqrt {{PC}^{2}+{EG}^{2}}=\sqrt {{4}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt {17}$。