题目
设n维向量组(Ⅰ)α 1 ,α 2 ,…,α s 线性无关,(Ⅱ)β 1 ,β 2 ,…,β t 线性无关,且α i 不能由(Ⅱ)线性表示(i=1,2,…,s),β j 且不能由(I)线性表示(j=1,2,…,t),则向量组α 1 ,α 2 ,…,α s ,β 1 ,β 2 ,…,β t ( )。A. 一定线性相关B. 一定线性无关C. 可能线性相关,也可能线性无关D. 既不线性相关,也不线性无关
设n维向量组(Ⅰ)α 1 ,α 2 ,…,α s 线性无关,(Ⅱ)β 1 ,β 2 ,…,β t 线性无关,且α i 不能由(Ⅱ)线性表示(i=1,2,…,s),β j 且不能由(I)线性表示(j=1,2,…,t),则向量组α 1 ,α 2 ,…,α s ,β 1 ,β 2 ,…,β t ( )。
A. 一定线性相关
B. 一定线性无关
C. 可能线性相关,也可能线性无关
D. 既不线性相关,也不线性无关
题目解答
答案
C. 可能线性相关,也可能线性无关
解析
步骤 1:理解线性无关的定义
线性无关的定义是:一组向量中,没有一个向量可以由其他向量线性表示。如果一组向量线性无关,那么它们的线性组合只有在系数全为零时才等于零向量。
步骤 2:分析向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)的性质
向量组(Ⅰ)α 1 ,α 2 ,…,α s 线性无关,意味着没有一个α i 可以由其他α j 线性表示。同样,向量组(Ⅱ)β 1 ,β 2 ,…,β t 线性无关,意味着没有一个β j 可以由其他β k 线性表示。此外,α i 不能由(Ⅱ)线性表示,β j 不能由(Ⅰ)线性表示。
步骤 3:考虑向量组α 1 ,α 2 ,…,α s ,β 1 ,β 2 ,…,β t 的线性相关性
由于α i 不能由(Ⅱ)线性表示,β j 不能由(Ⅰ)线性表示,这意味着向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)之间没有线性关系。因此,向量组α 1 ,α 2 ,…,α s ,β 1 ,β 2 ,…,β t 可能线性相关,也可能线性无关,取决于它们之间的具体关系。
线性无关的定义是:一组向量中,没有一个向量可以由其他向量线性表示。如果一组向量线性无关,那么它们的线性组合只有在系数全为零时才等于零向量。
步骤 2:分析向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)的性质
向量组(Ⅰ)α 1 ,α 2 ,…,α s 线性无关,意味着没有一个α i 可以由其他α j 线性表示。同样,向量组(Ⅱ)β 1 ,β 2 ,…,β t 线性无关,意味着没有一个β j 可以由其他β k 线性表示。此外,α i 不能由(Ⅱ)线性表示,β j 不能由(Ⅰ)线性表示。
步骤 3:考虑向量组α 1 ,α 2 ,…,α s ,β 1 ,β 2 ,…,β t 的线性相关性
由于α i 不能由(Ⅱ)线性表示,β j 不能由(Ⅰ)线性表示,这意味着向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)之间没有线性关系。因此,向量组α 1 ,α 2 ,…,α s ,β 1 ,β 2 ,…,β t 可能线性相关,也可能线性无关,取决于它们之间的具体关系。