【1997-1 3分】lim_(xto0)(3sin x+x^2cosfrac(1)/(x))((1+cos x)ln(1+x))=_.

本题考查函数极限的计算，解题思路是利用等价无穷小替换简化原式，再结合高阶无穷小的性质和极限运算法则求解。

1. 等价无穷小替换：
   • 当$x \to 0$时，根据等价无穷小的知识可知$\sin x \sim x$，$\ln(1 + x) \sim x$，同时$\cos x$的极限为$\lim_{x \to 0} \cos x = 1$。
   • 对于原式分子$3\sin x + x^2\cos\frac{1}{x}$，利用$\sin x \sim x$进行替换，可得$3\sin x + x^2\cos\frac{1}{x} \sim 3x + x^2\cos\frac{1}{x}$。
   • 对于原式分母$(1 + \cos x)\ln(1 + x)$，因为$\lim_{x \to 0} \cos x = 1$，所以$1 + \cos x$在$x \to 0$时趋近于$2$，再结合$\ln(1 + x) \sim x$，可得$(1 + \cos x)\ln(1 + x) \sim 2x$。
2. 化简极限式子：
   • 经过等价无穷小替换后，原极限$\lim_{x\to0}\frac{3\sin x+x^{2}\cos\frac{1}{x}}{(1+\cos x)\ln(1+x)}$可化简为$\lim_{x \to 0} \frac{3x + x^2\cos\frac{1}{x}}{2x}$。
3. 拆分极限式子并计算：
   • 将$\lim_{x \to 0} \frac{3x + x^2\cos\frac{1}{x}}{2x}$拆分为$\lim_{x \to 0} \left(\frac{3x}{2x} + \frac{x^2\cos\frac{1}{x}}{2x}\right)=\lim_{x \to 0} \left(\frac{3}{2} + \frac{x\cos\frac{1}{x}}{2}\right)$。
   • 根据极限的加法法则$\lim_{x \to a}(f(x)+g(x))=\lim_{x \to a}f(x)+\lim_{x \to a}g(x)$，可得$\lim_{x \to 0} \left(\frac{3}{2} + \frac{x\cos\frac{1}{x}}{2}\right)=\lim_{x \to 0} \frac{3}{2} + \lim_{x \to 0} \frac{x\cos\frac{1}{x}}{2}$。
   • 因为$\frac{3}{2}$为常数，所以$\lim_{x \to 0} \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$。
   • 对于$\lim_{x \to 0} \frac{x\cos\frac{1}{x}}{2}$，由于$\cos\frac{1}{x}$是有界函数，即$\vert\cos\frac{1}{x}\vert\leqslant 1$，而$\lim_{x \to 0} x = 0$，根据有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，可得$\lim_{x \to 0} x\cos\frac{1}{x} = 0$，那么$\lim_{x \to 0} \frac{x\cos\frac{1}{x}}{2} = \frac{1}{2} \times 0 = 0$。
   • 所以$\lim_{x \to 0} \frac{3}{2} + \lim_{x \to 0} \frac{x\cos\frac{1}{x}}{2}=\frac{3}{2} + 0 = \frac{3}{2}$。