题目
例4.15 试求 (z)=dfrac (1)(1+{z)^2} 以 z=i 为中心的洛朗级数.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数的解析区域
函数 $f(z)=\dfrac {1}{1+{z}^{2}}$ 在 $z=i$ 处有奇点，因为 $1+z^2=(z+i)(z-i)$，所以 $z=i$ 是函数的极点。我们需要在两个不同的解析区域内展开洛朗级数：$0\lt |z-i|\lt 2$ 和 $2\lt |z-i|\lt +\infty$。
步骤 2：在 $0\lt |z-i|\lt 2$ 内展开洛朗级数
在 $0\lt |z-i|\lt 2$ 内，$z+i$ 可以表示为 $z+i=2i+(z-i)$，因此 $\dfrac {1}{z+i}=\dfrac {1}{2i}\dfrac {1}{1-(-\dfrac {z-i}{2i})}$。利用几何级数展开，我们得到 $\dfrac {1}{z+i}=\dfrac {1}{2i}\sum _{n=0}^{\infty }(-\dfrac {z-i}{2i})^n$。因此，$f(z)=\dfrac {1}{z-i}\dfrac {1}{z+i}=\dfrac {1}{z-i}\dfrac {1}{2i}\sum _{n=0}^{\infty }(-\dfrac {z-i}{2i})^n=\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {{i}^{n-1}}{{2}^{n+1}}{(z-i)}^{n-1}$。
步骤 3：在 $2\lt |z-i|\lt +\infty$ 内展开洛朗级数
在 $2\lt |z-i|\lt +\infty$ 内，$z+i$ 可以表示为 $z+i=(z-i)+2i$，因此 $\dfrac {1}{z+i}=\dfrac {1}{z-i}\dfrac {1}{1-(-\dfrac {2i}{z-i})}$。利用几何级数展开，我们得到 $\dfrac {1}{z+i}=\dfrac {1}{z-i}\sum _{n=0}^{\infty }(-\dfrac {2i}{z-i})^n$。因此，$f(z)=\dfrac {1}{z-i}\dfrac {1}{z+i}=\dfrac {1}{z-i}\dfrac {1}{z-i}\sum _{n=0}^{\infty }(-\dfrac {2i}{z-i})^n=\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {{(-2i)}^{n}}{{(z-i)}^{n+2}}$。
函数 $f(z)=\dfrac {1}{1+{z}^{2}}$ 在 $z=i$ 处有奇点，因为 $1+z^2=(z+i)(z-i)$，所以 $z=i$ 是函数的极点。我们需要在两个不同的解析区域内展开洛朗级数：$0\lt |z-i|\lt 2$ 和 $2\lt |z-i|\lt +\infty$。
步骤 2：在 $0\lt |z-i|\lt 2$ 内展开洛朗级数
在 $0\lt |z-i|\lt 2$ 内，$z+i$ 可以表示为 $z+i=2i+(z-i)$，因此 $\dfrac {1}{z+i}=\dfrac {1}{2i}\dfrac {1}{1-(-\dfrac {z-i}{2i})}$。利用几何级数展开，我们得到 $\dfrac {1}{z+i}=\dfrac {1}{2i}\sum _{n=0}^{\infty }(-\dfrac {z-i}{2i})^n$。因此，$f(z)=\dfrac {1}{z-i}\dfrac {1}{z+i}=\dfrac {1}{z-i}\dfrac {1}{2i}\sum _{n=0}^{\infty }(-\dfrac {z-i}{2i})^n=\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {{i}^{n-1}}{{2}^{n+1}}{(z-i)}^{n-1}$。
步骤 3：在 $2\lt |z-i|\lt +\infty$ 内展开洛朗级数
在 $2\lt |z-i|\lt +\infty$ 内，$z+i$ 可以表示为 $z+i=(z-i)+2i$，因此 $\dfrac {1}{z+i}=\dfrac {1}{z-i}\dfrac {1}{1-(-\dfrac {2i}{z-i})}$。利用几何级数展开，我们得到 $\dfrac {1}{z+i}=\dfrac {1}{z-i}\sum _{n=0}^{\infty }(-\dfrac {2i}{z-i})^n$。因此，$f(z)=\dfrac {1}{z-i}\dfrac {1}{z+i}=\dfrac {1}{z-i}\dfrac {1}{z-i}\sum _{n=0}^{\infty }(-\dfrac {2i}{z-i})^n=\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {{(-2i)}^{n}}{{(z-i)}^{n+2}}$。