例1.18设-|||-.D= |} 3& -5& 2& 1 1& 1& 0& -5 -1& 3& 1& 3 2& -4& -1& -3 -

本题主要考察行列式中代数余余子式和余子式的性质及相关性质的应用。

（1）求$A_{11}+A_{112}+A_{13}+A_{14}$关键思路：

代数余子式\\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)，对于第一行元素的代数余子式之和$A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}$，可转化为用全1向量替换原行列式第一行后所得的新行列式。

• 原行列式$D$的第一行元素为$(3,-5,2,1)$，替换为$(1,1,1,1)$后，得到新行列式：
  $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -5 \\ -1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & -4 & -1 & -3 \end{vmatrix}$
• 通过行列式变换（如$r_3-r_1$、$r_4+r_3$等）化简，最终计算得该行列式值为$4$。
• 因此，$A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}=4$

（2）求$M_{11}+M_{21}+M_{31}+M_{41}$关键思路：

余子式$M_{ij}$是去掉第$i$行第$j$列后的行列式，符号与代数余子式$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，故$M_{ij}=(-1)^{i+jA_{ij}$。

• 第一列元素的余子式之和$M_{11}+M_{21}+M_{31}+M_{41}$可转化为：
  $A_{11}-A_{21}+A_{31-A_{41} \quad (\text{因}(-1)^{i+1}=(-1)^{i+1})$
  ]
• 通过构造辅助行列式（如替换第一列全为1）并利用行列式性质化简，最终计算得该式值为$0$
• 因此，$M_{11}+M_{21}+M_{31}+M_{41}=0}$