【题目】若n元线性方程组有解,且其系数矩阵的秩为r，则当时,方程组有唯一解;当时,方程组有无穷多解

考查要点：本题主要考查线性方程组解的存在唯一性定理，重点在于理解系数矩阵的秩与未知数个数之间的关系如何影响解的结构。

解题核心思路：
当线性方程组有解时，解的唯一性或无穷多解由系数矩阵的秩与未知数个数的关系决定。

• 唯一解的条件是系数矩阵的秩等于未知数个数，此时方程组的解被唯一确定。
• 无穷多解的条件是系数矩阵的秩小于未知数个数，此时存在自由变量，解空间维度为$n - r$。

破题关键点：

1. 明确题目中“n元方程组”对应未知数个数为$n$。
2. 结合有解条件（增广矩阵秩等于系数矩阵秩）和秩与未知数个数的关系判断解的情况。

定理回顾：
对于非齐次线性方程组$A_{m \times n} \mathbf{x} = \mathbf{b}$，若其有解，则：

1. 当$r = n$时，方程组有唯一解。
   • 此时系数矩阵的秩等于未知数个数，说明系数矩阵列向量线性无关，解被唯一确定。
2. 当$r < n$时，方程组有无穷多解。
   • 此时系数矩阵的秩小于未知数个数，存在$n - r$个自由变量，解空间维度为$n - r$。

结论：

• 唯一解的条件是系数矩阵的秩$r = n$。
• 无穷多解的条件是系数矩阵的秩$r < n$。