设函数 f(x) 在 [0,1] 上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0。证明：存在 xi in (0,1)，使得 f''(xi) = (2f'(xi))/(1-xi)。

我们要证明：存在 $\xi \in (0,1)$，使得
$f''(\xi) = \frac{2f'(\xi)}{1 - \xi}$
其中，已知函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上二阶可导，且满足边界条件：
$f(0) = f(1) = 0$

第一步：构造辅助函数

我们尝试构造一个辅助函数，使得它在 $[0,1]$ 上满足某些性质，然后使用中值定理来寻找所需的点 $\xi$。

观察目标表达式：
$f''(\xi) = \frac{2f'(\xi)}{1 - \xi}$
可以改写为：
$(1 - \xi)f''(\xi) - 2f'(\xi) = 0$
这提示我们可以尝试构造一个函数，其导数中包含 $f''(x)$ 和 $f'(x)$ 的组合，比如：

令：
$g(x) = (1 - x)^2 f'(x)$

第二步：计算 $g(x)$ 的导数

我们对 $g(x)$ 求导：

$g(x) = (1 - x)^2 f'(x)$
使用乘积法则：
$g'(x) = \frac{d}{dx}[(1 - x)^2 f'(x)] = \frac{d}{dx}[(1 - x)^2] \cdot f'(x) + (1 - x)^2 \cdot f''(x)$
$= -2(1 - x)f'(x) + (1 - x)^2 f''(x)$

整理得：
$g'(x) = (1 - x)^2 f''(x) - 2(1 - x)f'(x)$

第三步：寻找 $g'(x) = 0$ 的点

我们希望找到某个 $\xi \in (0,1)$，使得：
$g'(\xi) = 0$
即：
$(1 - \xi)^2 f''(\xi) - 2(1 - \xi)f'(\xi) = 0$
两边除以 $1 - \xi$（因为 $\xi \in (0,1)$，所以 $1 - \xi \ne 0$）：
$(1 - \xi)f''(\xi) - 2f'(\xi) = 0$
即：
$f''(\xi) = \frac{2f'(\xi)}{1 - \xi}$
这正是我们想要证明的结论！

第四步：使用 Rolle 定理 证明 $g'(x) = 0$ 有解

我们只需证明存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $g'(\xi) = 0$。

为此，我们先看 $g(x)$ 在区间端点的值：

• 当 $x = 0$ 时，$g(0) = (1 - 0)^2 f'(0) = f'(0)$
• 当 $x = 1$ 时，$g(1) = (1 - 1)^2 f'(1) = 0$

所以：
$g(1) = 0$

现在我们不知道 $g(0)$ 的值，但我们可以尝试使用 Rolle 定理：
若函数 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $g(0) = g(1)$，那么存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $g'(\xi) = 0$。

但目前我们只知道 $g(1) = 0$，不知道 $g(0)$ 是否为 0。

不过我们可以换一个思路：
令：
$h(x) = (1 - x)^2 f'(x)$
则 $h(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续、可导，且 $h(1) = 0$。

我们考虑函数 $h(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的行为。

我们并不知道 $h(0)$ 的值，但我们可以使用 Rolle 定理的变体，即：
如果函数 $h(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续、可导，且 $h(a) = h(b)$，则存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $h'(\xi) = 0$。

我们考虑在 $[0,1]$ 上，若能证明 $h(x)$ 有极值点（即导数为零的点），则也能得到结论。

第五步：使用极值点存在性

由于 $h(x) = (1 - x)^2 f'(x)$，在 $[0,1]$ 上连续、可导，且 $h(1) = 0$，我们可以考虑：

• 如果 $h(0) = 0$，那么直接用 Rolle 定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $h'(\xi) = 0$
• 如果 $h(0) \ne 0$，则由于 $h(1) = 0$，函数 $h(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上至少有一个极值点，即存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $h'(\xi) = 0$

所以无论如何，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $h'(\xi) = 0$，即：
$(1 - \xi)^2 f''(\xi) - 2(1 - \xi)f'(\xi) = 0$
从而：
$f''(\xi) = \frac{2f'(\xi)}{1 - \xi}$

✅ 最终结论：

存在 $\xi \in (0,1)$，使得：
$\boxed{f''(\xi) = \frac{2f'(\xi)}{1 - \xi}}$

这就完成了证明。