8.简答题计算拉普拉斯卷积sint*cost及L[sint*cost]

### 问题解析 题目要求计算拉普拉斯卷积 $ \sin t * \cos t $ 以及其拉普拉斯变换 $ \mathcal{L}[\sin t * \cos t] $。 #### 拉普拉斯卷积的定义 拉普拉斯卷积 $ f(t) * g(t) $ 定义为： \[ (f * g)(t) = \int_0^t f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau \] #### 计算 $ \sin t * \cos t $ 根据定义，我们有： \[ (\sin t * \cos t)(t) = \int_0^t \sin \tau \cos (t - \tau) \, d\tau \] 我们可以使用三角恒等式来简化这个积分。回忆三角恒等式： \[ \cos (t - \tau) = \cos t \cos \tau + \sin t \sin \tau \] 将这个恒等式代入积分中： \[ \int_0^t \sin \tau \cos (t - \tau) \, d\tau = \int_0^t \sin \tau (\cos t \cos \tau + \sin t \sin \tau) \, d\tau \] 将积分拆分为两部分： \[ \int_0^t \sin \tau \cos t \cos \tau \, d\tau + \int_0^t \sin \tau \sin t \sin \tau \, d\tau \] 提取常数项： \[ \cos t \int_0^t \sin \tau \cos \tau \, d\tau + \sin t \int_0^t \sin^2 \tau \, d\tau \] 第一部分积分： \[ \int_0^t \sin \tau \cos \tau \, d\tau = \frac{1}{2} \int_0^t \sin 2\tau \, d\tau = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} \cos 2\tau \right]_0^t = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \cos 2t + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4} (1 - \cos 2t) \] 第二部分积分： \[ \int_0^t \sin^2 \tau \, d\tau = \int_0^t \frac{1 - \cos 2\tau}{2} \, d\tau = \frac{1}{2} \left[ \tau - \frac{1}{2} \sin 2\tau \right]_0^t = \frac{1}{2} \left( t - \frac{1}{2} \sin 2t \right) = \frac{t}{2} - \frac{1}{4} \sin 2t \] 将这两部分结果代回原式： \[ \cos t \cdot \frac{1}{4} (1 - \cos 2t) + \sin t \left( \frac{t}{2} - \frac{1}{4} \sin 2t \right) \] 简化： \[ \frac{1}{4} \cos t (1 - \cos 2t) + \frac{1}{2} t \sin t - \frac{1}{4} \sin t \sin 2t \] 进一步简化： \[ \frac{1}{4} \cos t - \frac{1}{4} \cos t \cos 2t + \frac{1}{2} t \sin t - \frac{1}{4} \sin t \sin 2t \] 注意到 $\cos 2t = 1 - 2 \sin^2 t$ 和 $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$，代入后可以进一步简化，但最终结果可以写为： \[ \sin t * \cos t = \frac{1}{2} t \sin t \] #### 计算 $ \mathcal{L}[\sin t * \cos t] $ 拉普拉斯变换的卷积定理指出： \[ \mathcal{L}[f(t) * g(t)] = \mathcal{L}[f(t)] \cdot \mathcal{L}[g(t)] \] 已知： \[ \mathcal{L}[\sin t] = \frac{1}{s^2 + 1} \] \[ \mathcal{L}[\cos t] = \frac{s}{s^2 + 1} \] 因此： \[ \mathcal{L}[\sin t * \cos t] = \mathcal{L}[\sin t] \cdot \mathcal{L}[\cos t] = \frac{1}{s^2 + 1} \cdot \frac{s}{s^2 + 1} = \frac{s}{(s^2 + 1)^2} \] ### 最终答案 \[ \sin t * \cos t = \frac{1}{2} t \sin t \] \[ \mathcal{L}[\sin t * \cos t] = \frac{s}{(s^2 + 1)^2} \]