杨氏模量实验中，在望远镜中读下初位置l_(0)，当钢丝上加1(Kg)拉力，记作位置l_(1)。钢丝上每增加1(Kg)拉力记一次位置，直至读到l_(9)，用逐差法算出每加1(Kg)拉力的伸长量overline(l)，正确的表达式是（ ）。A. overline(l)=((I_(3)-I_(2))+(I_(5)-I_(7))+ldots+(I_(1)-I_(0)))/(9)B. overline(l)=((I_(5)-I_(4))+(I_(6)-I_(1))+ldots+(I_(2)-I_(4)))/(5)C. overline(l)=((I_(3)+I_(8)+I_(7)+I_(3)+I_(9))-(I_(4)+I_(2)+I_(5)+I_(1)+I_(0)))/(5times5)D. overline(l)=((l_(5)-l_(0))+(l_(6)-l_(1))+ldots+(l_(9)-l_(4)))/(5times5)
杨氏模量实验中，在望远镜中读下初位置$l_{0}$，当钢丝上加$1\text{Kg}$拉力，记作位置$l_{1}$。钢丝上每增加$1\text{Kg}$拉力记一次位置，直至读到$l_{9}$，用逐差法算出每加$1\text{Kg}$拉力的伸长量$\overline{l}$，正确的表达式是（ ）。 A. $\overline{l}=\frac{(I_{3}-I_{2})+(I_{5}-I_{7})+\ldots+(I_{1}-I_{0})}{9}$ B. $\overline{l}=\frac{(I_{5}-I_{4})+(I_{6}-I_{1})+\ldots+(I_{2}-I_{4})}{5}$ C. $\overline{l}=\frac{(I_{3}+I_{8}+I_{7}+I_{3}+I_{9})-(I_{4}+I_{2}+I_{5}+I_{1}+I_{0})}{5\times5}$ D. $\overline{l}=\frac{(l_{5}-l_{0})+(l_{6}-l_{1})+\ldots+(l_{9}-l_{4})}{5\times5}$
题目解答
答案
我们来逐步分析这道题。
题目是关于杨氏模量实验中使用逐差法来计算钢丝在每增加1kg拉力时的平均伸长量 $\overline{l}$。
一、实验背景
在杨氏模量实验中：
- 钢丝初始状态（无额外拉力或初始拉力）时，望远镜中读得的位置是 $l_0$。
- 然后每次增加1kg砝码，记录对应的位置 $l_1, l_2, \ldots, l_9$，共10个数据点（从0到9）。
- 每加1kg，钢丝伸长一定长度，我们希望求出每增加1kg拉力时的平均伸长量 $\overline{l}$。
二、什么是逐差法？
逐差法（也叫逐差平均法）是处理等间距测量数据的一种方法，目的是减小误差，特别是系统误差和读数误差。
在本实验中，拉力每次增加1kg，位移（位置读数）变化。如果我们直接用相邻两次读数相减（如 $l_1 - l_0$），会得到一次伸长量，但这样每个数据只用一次，误差较大。
逐差法的思想是：将数据分成前后两组，用后一半的数据减去前一半对应的数据，从而得到多个“间隔相等”的伸长量，再取平均。
三、数据分组与逐差法应用
我们有10个数据：$l_0, l_1, l_2, \ldots, l_9$，共10个读数，对应0kg到9kg拉力。
我们想求的是：每增加1kg拉力，钢丝的平均伸长量。
为了提高精度，使用逐差法，将数据分为前后两组，每组5个：
- 前5个：$l_0, l_1, l_2, l_3, l_4$
- 后5个：$l_5, l_6, l_7, l_8, l_9$
然后进行对应项相减：
- $l_5 - l_0$：这是增加5kg拉力后的总伸长量（从0kg到5kg）
- $l_6 - l_1$：从1kg到6kg，也是5kg的增量
- $l_7 - l_2$：2kg → 7kg
- $l_8 - l_3$：3kg → 8kg
- $l_9 - l_4$：4kg → 9kg
每一个差值 $l_{i+5} - l_i$ 对应的是5kg拉力引起的伸长量。
所以，每增加1kg的伸长量，应该把这个伸长量除以5。
于是，平均每加1kg的伸长量为：
$\overline{l} = \frac{1}{5} \times \frac{(l_5 - l_0) + (l_6 - l_1) + (l_7 - l_2) + (l_8 - l_3) + (l_9 - l_4)}{5}$
也就是：
$\overline{l} = \frac{(l_5 - l_0) + (l_6 - l_1) + (l_7 - l_2) + (l_8 - l_3) + (l_9 - l_4)}{25}$
即：
$\overline{l} = \frac{(l_5 - l_0) + (l_6 - l_1) + \cdots + (l_9 - l_4)}{5 \times 5}$
四、选项分析
我们来看选项：
A. $\overline{l}=\frac{(I_{3}-I_{2})+(I_{5}-I_{7})+\ldots+(I_{1}-I_{0})}{9}$
- 使用了 $I$（应为 $l$，可能是笔误），但差值混乱，比如 $I_5 - I_7$ 是负的，顺序错乱。
- 分母是9，不合理。
- 错误
B. $\overline{l}=\frac{(I_{5}-I_{4})+(I_{6}-I_{1})+\ldots+(I_{2}-I_{4})}{5}$
- 差值不规律，$I_6 - I_1$ 可能合理，但 $I_2 - I_4$ 又是反的，整体无规律。
- 错误
C. $\overline{l}=\frac{(I_{3}+I_{8}+I_{7}+I_{3}+I_{9})-(I_{4}+I_{2}+I_{5}+I_{1}+I_{0})}{5\times5}$
- 分子是若干 $l$ 值的和相减，但组合混乱，比如 $I_3$ 出现两次，$I_6$ 缺失，没有对称性。
- 不符合逐差法的成对相减逻辑。
- 错误
D. $\overline{l}=\frac{(l_{5}-l_{0})+(l_{6}-l_{1})+\ldots+(l_{9}-l_{4})}{5\times5}$
- 正是我们上面推导出的表达式！
- 分子是5个“5kg引起的伸长量”之和。
- 分母是 $5 \times 5 = 25$，即先平均得到5kg的平均伸长，再除以5得每1kg的伸长。
- 完全正确。
五、结论
正确答案是：
$\boxed{\text{D}}$