题目
4.求半径为a、圆心角为2varphi的均匀圆弧(线密度mu=1)的质心
4.求半径为a、圆心角为2$\varphi$的均匀圆弧(线密度$\mu=1$)的质心
题目解答
答案
设圆弧的参数方程为 $x = a \cos \theta$，$y = a \sin \theta$，其中 $\theta$ 从 $-\varphi$ 到 $\varphi$。圆弧的质量 $M = 2a\varphi$（因线密度 $\mu = 1$）。
质心坐标计算如下：
\[
x_c = \frac{1}{M} \int_{-\varphi}^{\varphi} x \, ds = \frac{1}{2a\varphi} \int_{-\varphi}^{\varphi} a \cos \theta \cdot a \, d\theta = \frac{a}{2\varphi} \int_{-\varphi}^{\varphi} \cos \theta \, d\theta = \frac{a \sin \varphi}{\varphi},
\]
\[
y_c = \frac{1}{M} \int_{-\varphi}^{\varphi} y \, ds = \frac{1}{2a\varphi} \int_{-\varphi}^{\varphi} a \sin \theta \cdot a \, d\theta = \frac{a}{2\varphi} \int_{-\varphi}^{\varphi} \sin \theta \, d\theta = 0.
\]
因此，质心坐标为 $\boxed{\left( \frac{a \sin \varphi}{\varphi}, 0 \right)}$。
解析
步骤 1：确定圆弧的参数方程
圆弧的参数方程为 $x = a \cos \theta$，$y = a \sin \theta$，其中 $\theta$ 从 $-\varphi$ 到 $\varphi$。这是因为圆弧的半径为 $a$，圆心角为 $2\varphi$，所以 $\theta$ 的范围是从 $-\varphi$ 到 $\varphi$。
步骤 2：计算圆弧的质量
圆弧的质量 $M = 2a\varphi$（因线密度 $\mu = 1$）。这是因为圆弧的长度为 $2a\varphi$，而线密度为 $1$，所以质量等于长度乘以线密度。
步骤 3：计算质心的 $x$ 坐标
质心的 $x$ 坐标计算如下： \[ x_c = \frac{1}{M} \int_{-\varphi}^{\varphi} x \, ds = \frac{1}{2a\varphi} \int_{-\varphi}^{\varphi} a \cos \theta \cdot a \, d\theta = \frac{a}{2\varphi} \int_{-\varphi}^{\varphi} \cos \theta \, d\theta = \frac{a \sin \varphi}{\varphi}. \] 这里，$ds = a \, d\theta$ 是圆弧的微小长度，$x = a \cos \theta$ 是圆弧上点的 $x$ 坐标。
步骤 4：计算质心的 $y$ 坐标
质心的 $y$ 坐标计算如下： \[ y_c = \frac{1}{M} \int_{-\varphi}^{\varphi} y \, ds = \frac{1}{2a\varphi} \int_{-\varphi}^{\varphi} a \sin \theta \cdot a \, d\theta = \frac{a}{2\varphi} \int_{-\varphi}^{\varphi} \sin \theta \, d\theta = 0. \] 这里，$y = a \sin \theta$ 是圆弧上点的 $y$ 坐标，由于 $\sin \theta$ 在 $-\varphi$ 到 $\varphi$ 的积分结果为 $0$，所以 $y_c = 0$。
圆弧的参数方程为 $x = a \cos \theta$，$y = a \sin \theta$，其中 $\theta$ 从 $-\varphi$ 到 $\varphi$。这是因为圆弧的半径为 $a$，圆心角为 $2\varphi$，所以 $\theta$ 的范围是从 $-\varphi$ 到 $\varphi$。
步骤 2：计算圆弧的质量
圆弧的质量 $M = 2a\varphi$（因线密度 $\mu = 1$）。这是因为圆弧的长度为 $2a\varphi$，而线密度为 $1$，所以质量等于长度乘以线密度。
步骤 3：计算质心的 $x$ 坐标
质心的 $x$ 坐标计算如下： \[ x_c = \frac{1}{M} \int_{-\varphi}^{\varphi} x \, ds = \frac{1}{2a\varphi} \int_{-\varphi}^{\varphi} a \cos \theta \cdot a \, d\theta = \frac{a}{2\varphi} \int_{-\varphi}^{\varphi} \cos \theta \, d\theta = \frac{a \sin \varphi}{\varphi}. \] 这里，$ds = a \, d\theta$ 是圆弧的微小长度，$x = a \cos \theta$ 是圆弧上点的 $x$ 坐标。
步骤 4：计算质心的 $y$ 坐标
质心的 $y$ 坐标计算如下： \[ y_c = \frac{1}{M} \int_{-\varphi}^{\varphi} y \, ds = \frac{1}{2a\varphi} \int_{-\varphi}^{\varphi} a \sin \theta \cdot a \, d\theta = \frac{a}{2\varphi} \int_{-\varphi}^{\varphi} \sin \theta \, d\theta = 0. \] 这里，$y = a \sin \theta$ 是圆弧上点的 $y$ 坐标，由于 $\sin \theta$ 在 $-\varphi$ 到 $\varphi$ 的积分结果为 $0$，所以 $y_c = 0$。