题目
f(x,y)在点f(x,y)的方向导数中，沿梯度方向的方向导数最大，最大值等于梯度的模。、1.对2.错
在点
的方向导数中，沿梯度方向的方向导数最大，最大值等于梯度的模。、
1.对
2.错
题目解答
答案
如果函数在点
可微分，
是与方向
同向的单位向量，那么
其中
。
所以当
，即方向
与梯度
的方向相同时，函数
增加最快。此时，函数在这个方向的方向导数达到最大值，这个最大值就是梯度的模。故题目说法正确，答案选择1.对。
解析
步骤 1：方向导数的定义
方向导数是函数在某一点沿某一方向的变化率。如果函数$f(x,y)$在点$P(x_0,y_0)$可微分，那么沿方向${e}_{i}=(\cos \alpha ,\cos \beta )$的方向导数为$\dfrac {\partial f}{\partial t}={f}_{x}({x}_{0},{y}_{0})\cos \alpha +{f}_{y}({x}_{0},{y}_{0})\cos \beta $。
步骤 2：梯度的定义
梯度是函数在某一点的导数向量，表示函数在该点增长最快的方向。对于函数$f(x,y)$，其梯度为$gradf({x}_{0},{y}_{0})=({f}_{x}({x}_{0},{y}_{0}),{f}_{y}({x}_{0},{y}_{0}))$。
步骤 3：方向导数与梯度的关系
方向导数可以表示为梯度与方向向量的点积，即$\dfrac {\partial f}{\partial t}={f}_{x}({x}_{0},{y}_{0})\cos \alpha +{f}_{y}({x}_{0},{y}_{0})\cos \beta =gradf({x}_{0},{y}_{0})\cdot {e}_{1}=|\lg radf({x}_{0},{y}_{0})|\cos \theta $，其中$\theta =(gradf({x}_{0},{y}_{0}),{e}_{2})$。
步骤 4：最大方向导数
当$\theta =0$，即方向与梯度$gradf({x}_{0},{y}_{0})$的方向相同时，函数$f(x,y)$增加最快。此时，函数在这个方向的方向导数达到最大值，这个最大值就是梯度$gradf({x}_{0},{y}_{0})$的模。
方向导数是函数在某一点沿某一方向的变化率。如果函数$f(x,y)$在点$P(x_0,y_0)$可微分，那么沿方向${e}_{i}=(\cos \alpha ,\cos \beta )$的方向导数为$\dfrac {\partial f}{\partial t}={f}_{x}({x}_{0},{y}_{0})\cos \alpha +{f}_{y}({x}_{0},{y}_{0})\cos \beta $。
步骤 2：梯度的定义
梯度是函数在某一点的导数向量，表示函数在该点增长最快的方向。对于函数$f(x,y)$，其梯度为$gradf({x}_{0},{y}_{0})=({f}_{x}({x}_{0},{y}_{0}),{f}_{y}({x}_{0},{y}_{0}))$。
步骤 3：方向导数与梯度的关系
方向导数可以表示为梯度与方向向量的点积，即$\dfrac {\partial f}{\partial t}={f}_{x}({x}_{0},{y}_{0})\cos \alpha +{f}_{y}({x}_{0},{y}_{0})\cos \beta =gradf({x}_{0},{y}_{0})\cdot {e}_{1}=|\lg radf({x}_{0},{y}_{0})|\cos \theta $，其中$\theta =(gradf({x}_{0},{y}_{0}),{e}_{2})$。
步骤 4：最大方向导数
当$\theta =0$，即方向与梯度$gradf({x}_{0},{y}_{0})$的方向相同时，函数$f(x,y)$增加最快。此时，函数在这个方向的方向导数达到最大值，这个最大值就是梯度$gradf({x}_{0},{y}_{0})$的模。