题目
42.设f(x)是二次可微的函数,满足 (0)=1, '(0)=0, 且对任意的 geqslant 0 有-|||-''(x)-5f'(x)+6f(x)geqslant 0, 证明:对每个 geqslant 0, 都有 (x)geqslant 3(e)^2x-2(e)^3x
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造辅助函数
构造辅助函数 $g(x)=f'(x)-2f(x)$，则 $g'(x)=f''(x)-2f'(x)$。根据题设条件，有 $f''(x)-5f'(x)+6f(x)\geqslant 0$，可以改写为 $g'(x)-3g(x)\geqslant 0$。
步骤 2：分析辅助函数的性质
由于 $g'(x)-3g(x)\geqslant 0$，可以得到 $[g(x)e^{-3x}]'\geqslant 0$，即函数 $g(x)e^{-3x}$ 是单调增加的。当 $x\geqslant 0$ 时，有 $g(x)e^{-3x}\geqslant g(0)e^{-3\cdot0}=g(0)$。由于 $g(0)=f'(0)-2f(0)=0-2\cdot1=-2$，所以 $g(x)e^{-3x}\geqslant -2$，即 $f'(x)-2f(x)\geqslant -2e^{3x}$。
步骤 3：构造新的辅助函数
构造新的辅助函数 $h(x)=f(x)e^{-2x}+2e^{x}$，则 $h'(x)=f'(x)e^{-2x}-2f(x)e^{-2x}+2e^{x}=e^{-2x}(f'(x)-2f(x))+2e^{x}$。根据步骤 2 的结果，有 $h'(x)\geqslant e^{-2x}(-2e^{3x})+2e^{x}=-2e^{x}+2e^{x}=0$，即 $h'(x)\geqslant 0$，所以函数 $h(x)$ 是单调增加的。
步骤 4：利用单调性证明不等式
由于 $h(x)$ 是单调增加的，当 $x\geqslant 0$ 时，有 $h(x)\geqslant h(0)=f(0)e^{-2\cdot0}+2e^{0}=1+2=3$，即 $f(x)e^{-2x}+2e^{x}\geqslant 3$。因此，$f(x)\geqslant 3e^{2x}-2e^{3x}$。
构造辅助函数 $g(x)=f'(x)-2f(x)$，则 $g'(x)=f''(x)-2f'(x)$。根据题设条件，有 $f''(x)-5f'(x)+6f(x)\geqslant 0$，可以改写为 $g'(x)-3g(x)\geqslant 0$。
步骤 2：分析辅助函数的性质
由于 $g'(x)-3g(x)\geqslant 0$，可以得到 $[g(x)e^{-3x}]'\geqslant 0$，即函数 $g(x)e^{-3x}$ 是单调增加的。当 $x\geqslant 0$ 时，有 $g(x)e^{-3x}\geqslant g(0)e^{-3\cdot0}=g(0)$。由于 $g(0)=f'(0)-2f(0)=0-2\cdot1=-2$，所以 $g(x)e^{-3x}\geqslant -2$，即 $f'(x)-2f(x)\geqslant -2e^{3x}$。
步骤 3：构造新的辅助函数
构造新的辅助函数 $h(x)=f(x)e^{-2x}+2e^{x}$，则 $h'(x)=f'(x)e^{-2x}-2f(x)e^{-2x}+2e^{x}=e^{-2x}(f'(x)-2f(x))+2e^{x}$。根据步骤 2 的结果，有 $h'(x)\geqslant e^{-2x}(-2e^{3x})+2e^{x}=-2e^{x}+2e^{x}=0$，即 $h'(x)\geqslant 0$，所以函数 $h(x)$ 是单调增加的。
步骤 4：利用单调性证明不等式
由于 $h(x)$ 是单调增加的，当 $x\geqslant 0$ 时，有 $h(x)\geqslant h(0)=f(0)e^{-2\cdot0}+2e^{0}=1+2=3$，即 $f(x)e^{-2x}+2e^{x}\geqslant 3$。因此，$f(x)\geqslant 3e^{2x}-2e^{3x}$。