16. (5.0分) 设k在(0,5)上服从均匀分布，则4x²+4kx+k+2=0有实根的概率为____。

考查要点：本题主要考查二次方程有实根的条件（判别式非负）以及均匀分布的概率计算。

解题核心思路：

1. 判别式非负：通过计算二次方程的判别式，确定参数$k$的取值范围。
2. 区间概率计算：结合$k$在$(0,5)$上的均匀分布，计算满足条件的区间长度占总区间长度的比例。

破题关键点：

• 判别式推导：正确展开并化简判别式$\Delta$，找到$k$的约束条件。
• 区间筛选：根据$k$的取值范围$(0,5)$，筛选出满足$\Delta \geq 0$的有效区间。

步骤1：计算判别式
方程$4x^2 + 4kx + k + 2 = 0$的判别式为：
$\Delta = (4k)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (k + 2) = 16k^2 - 16(k + 2) = 16(k^2 - k - 2)$

步骤2：因式分解判别式
将二次项分解：
$k^2 - k - 2 = (k - 2)(k + 1)$
因此，判别式可化简为：
$\Delta = 16(k - 2)(k + 1)$

步骤3：确定判别式非负的条件
要求$\Delta \geq 0$，即：
$(k - 2)(k + 1) \geq 0$
解得：
$k \leq -1 \quad \text{或} \quad k \geq 2$

步骤4：结合$k$的取值范围筛选
由于$k \in (0, 5)$，排除$k \leq -1$的情况，仅保留$k \geq 2$。因此，满足条件的区间为$[2, 5)$。

步骤5：计算概率
总区间长度为$5$，有效区间长度为$5 - 2 = 3$，故概率为：
$P = \frac{3}{5}$