题目
(5)下列极限计算不正确的是 () .-|||-A. lim _(xarrow 0)dfrac (tan 3x)(sin 2x)=dfrac (3)(2) B. lim _(xarrow -1)dfrac (cos dfrac {pi )(2)x}(x+1)=-dfrac (pi )(2)-|||-C. lim _(xarrow 1)dfrac ({x)^2-1}(sin (x-1))=2 D. lim _(xarrow infty )dfrac (arctan x)(x)=0
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析选项 A
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\tan 3x}{\sin 2x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {3x}{2x}=\dfrac {3}{2}$，因此选项 A 正确。
步骤 2：分析选项 B
$\lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {\cos \dfrac {\pi }{2}x}{x+1}=\lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {-\dfrac {\pi }{2}\sin \dfrac {\pi }{2}x}{1}=-\dfrac {\pi }{2}\sin \dfrac {-\pi }{2}=\dfrac {\pi }{2}$，因此选项 B 不正确。
步骤 3：分析选项 C
$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {{x}^{2}-1}{\sin (x-1)}=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {2x}{\cos (x-1)}=2$，因此选项 C 正确。
步骤 4：分析选项 D
$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\arctan x}{x}=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\dfrac {1}{1+{x}^{2}}}{1}=0$，因此选项 D 正确。
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\tan 3x}{\sin 2x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {3x}{2x}=\dfrac {3}{2}$，因此选项 A 正确。
步骤 2：分析选项 B
$\lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {\cos \dfrac {\pi }{2}x}{x+1}=\lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {-\dfrac {\pi }{2}\sin \dfrac {\pi }{2}x}{1}=-\dfrac {\pi }{2}\sin \dfrac {-\pi }{2}=\dfrac {\pi }{2}$，因此选项 B 不正确。
步骤 3：分析选项 C
$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {{x}^{2}-1}{\sin (x-1)}=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {2x}{\cos (x-1)}=2$，因此选项 C 正确。
步骤 4：分析选项 D
$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\arctan x}{x}=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\dfrac {1}{1+{x}^{2}}}{1}=0$，因此选项 D 正确。