题目
4、计算极限：lim_(xto0)(1+sin3x)^(1)/(x)
4、计算极限：$\lim_{x\to0}(1+\sin3x)^{\frac{1}{x}}$
题目解答
答案
为了计算极限 $\lim_{x\to0}(1+\sin3x)^{\frac{1}{x}}$，我们可以使用自然对数和指数函数的性质，将表达式转换成更容易处理的形式。具体步骤如下：
1. **取自然对数**：
设 $y = (1+\sin3x)^{\frac{1}{x}}$。则 $\ln y = \ln \left( (1+\sin3x)^{\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{x} \ln (1+\sin3x)$。
2. **计算 $\ln y$ 的极限**：
我们需要计算 $\lim_{x\to0} \ln y = \lim_{x\to0} \frac{\ln (1+\sin3x)}{x}$。这是一个 $\frac{0}{0}$ 型的未定式，可以使用洛必达法则。洛必达法则 states $\lim_{x\to0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$，其中 $f(x) = \ln (1+\sin3x)$ 和 $g(x) = x$。
首先，计算 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的导数：
\[
f'(x) = \frac{1}{1+\sin3x} \cdot 3\cos3x = \frac{3\cos3x}{1+\sin3x}, \quad g'(x) = 1.
\]
因此，
\[
\lim_{x\to0} \frac{\ln (1+\sin3x)}{x} = \lim_{x\to0} \frac{3\cos3x}{1+\sin3x} = \frac{3\cos0}{1+\sin0} = \frac{3 \cdot 1}{1+0} = 3.
\]
3. **返回原变量**：
由于 $\lim_{x\to0} \ln y = 3$，所以 $\lim_{x\to0} y = e^3$。
因此，原极限是 $\boxed{e^3}$。
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理形如$(1 + f(x))^{g(x)}$的极限问题，其中$f(x) \to 0$且$g(x) \to \infty$。关键在于利用自然对数和指数函数的转换，结合洛必达法则或等价无穷小替换简化计算。
解题核心思路：
- 取自然对数将指数形式转化为乘积形式，便于处理。
- 应用洛必达法则或等价无穷小替换求极限。
- 返回原变量，通过指数函数得到最终结果。
破题关键点：
- 识别极限类型为$1^{\infty}$型未定式，需通过变形转化为基本极限形式。
- 正确应用洛必达法则或等价无穷小替换简化表达式。
步骤1：取自然对数
设原式为$y = (1+\sin3x)^{\frac{1}{x}}$，则：
$\ln y = \frac{1}{x} \ln(1+\sin3x)$
步骤2：计算$\ln y$的极限
当$x \to 0$时，$\sin3x \approx 3x$，因此$\ln(1+\sin3x) \approx \ln(1+3x) \approx 3x$。此时：
$\lim_{x\to0} \ln y = \lim_{x\to0} \frac{\ln(1+\sin3x)}{x} = \lim_{x\to0} \frac{3x}{x} = 3$
步骤3：返回原变量
由于$\lim_{x\to0} \ln y = 3$，因此原极限为：
$\lim_{x\to0} y = e^3$