设f(x)和g(x)在(-∞,+∞)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0,g(x)有间断点，则().A. g[f(x)]必有间断点B. [g(x)]²必有间断点C. f[g(x)]必有间断点D. (g(x))/(f(x))必有间断点

考查要点：本题主要考查函数连续性与间断点的性质，特别是复合函数、运算后的函数连续性判断。

解题核心思路：

1. 连续函数的复合性质：若外层函数连续，内层函数在对应点连续，则复合函数连续。
2. 运算后的连续性：加减乘除运算后的连续性取决于各部分函数的连续性，特别注意分母是否为零。
3. 关键点：利用已知条件（如$f(x)$连续且非零）分析各选项中函数的连续性，判断是否存在必有的间断点。

破题关键：

• 选项D中$\frac{g(x)}{f(x)}$的分母$f(x)$连续且非零，因此分母不会引入新的间断点，而分子$g(x)$本身存在间断点，故分式整体必保留$g(x)$的间断点。

选项分析

选项A：$g[f(x)]$必有间断点

• 复合函数连续性：若$f(x)$连续，且$g(y)$在$f(x)$的值域内连续，则$g[f(x)]$连续。
• 反例：若$g(y)$的间断点不在$f(x)$的值域内，则$g[f(x)]$可能连续。例如，$g(y)$在$y=0$处间断，但$f(x)$恒不为0，则$g[f(x)]$可能连续。
• 结论：不一定成立。

选项B：$[g(x)]^2$必有间断点

• 平方运算的影响：平方可能“消除”间断点。例如，若$g(x)$在$x=a$处左右极限为$1$和$-1$，则$[g(x)]^2$在$x=a$处可能连续。
• 结论：不一定成立。

选项C：$f[g(x)]$必有间断点

• 复合函数连续性：若$g(x)$在某点间断，但$f(y)$将$g(x)$的左右极限映射为同一值，则$f[g(x)]$可能连续。
• 反例：若$f(y)$为常函数（满足$f(x)\neq0$），则$f[g(x)]$恒为常数，无间断点。
• 结论：不一定成立。

选项D：$\frac{g(x)}{f(x)}$必有间断点

• 分母性质：$f(x)$连续且非零，故$\frac{1}{f(x)}$连续。
• 分子影响：$g(x)$存在间断点，而连续函数与非零连续函数的商保留原分子的间断点。
• 结论：$\frac{g(x)}{f(x)}$必有间断点。