题目
(本小题15分 )已知 A(0,3)和 P(3,(3)/(2))为椭圆C： ((x)^2)/((a)^2)+((y)^2)/((b)^2)=1(a>b>0)上两点. (1)求C的离心率； (2)若过P的直线l交C于另一点B，且 △ABP的面积为9，求l的方程.
$ ($本小题15分$ )$
已知$ A(0,3)$和$ P(3,\frac{3}{2})$为椭圆C：$ \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>b>0)$上两点.
$ \left(1\right)$求C的离心率；
$ \left(2\right)$若过P的直线l交C于另一点B，且$ △ABP$的面积为9，求l的方程.
已知$ A(0,3)$和$ P(3,\frac{3}{2})$为椭圆C：$ \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>b>0)$上两点.
$ \left(1\right)$求C的离心率；
$ \left(2\right)$若过P的直线l交C于另一点B，且$ △ABP$的面积为9，求l的方程.
题目解答
答案
解：$ \left(1\right)$依题意，$ \left\{\begin{array}{l}\frac{9}{{b}^{2}}=1\\ \frac{9}{{a}^{2}}+\frac{\frac{9}{4}}{{b}^{2}}=1\end{array}\right.$，解得$ \left\{\begin{array}{l}{a}^{2}=12\\ {b}^{2}=9\end{array}\right.$，
则离心率$ e=\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{1-\frac{9}{12}}=\frac{1}{2}$；
$ \left(2\right)$由$ \left(1\right)$可知，椭圆C的方程为$ \frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为$ x=3$，易知此时$ B(3,-\frac{3}{2})$，
点A到直线PB的距离为3，则$ {S}_{△ABP}=\frac{1}{2}\times 3\times 3=\frac{9}{2}$，与易知矛盾；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为$ y-\frac{3}{2}=k(x-3)$，即$ y=k(x-3)+\frac{3}{2}$，
设$ P({x}_{1},{y}_{1})$，$ B({x}_{2},{y}_{2})$，
联立$ \left\{\begin{array}{l}y=k(x-3)+\frac{3}{2}\\ \frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{9}=1\end{array}\right.$，消去y整理可得，$ (4{k}^{2}+3){x}^{2}-(24{k}^{2}-12k)x+36{k}^{2}-36k-27=0$，
则$ {x}_{1}+{x}_{2}=\frac{24{k}^{2}-12k}{4{k}^{2}+3},{x}_{1}{x}_{2}=\frac{36{k}^{2}-36k-27}{4{k}^{2}+3}$，
由弦长公式可得，$ \left|PB\right|=\sqrt{1+{k}^{2}}\cdot \sqrt{({x}_{1}+{x}_{2}{)}^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}=\sqrt{1+{k}^{2}}\cdot \sqrt{(\frac{24{k}^{2}-12k}{4{k}^{2}+3}{)}^{2}-4\times \frac{36{k}^{2}-36k-27}{4{k}^{2}+3}}=\frac{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{1+{k}^{2}}\cdot \sqrt{3{k}^{2}+9k+\frac{27}{4}}}{4{k}^{2}+3}$，
点A到直线l的距离为$ d=\frac{|3k+\frac{3}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
则$ \frac{1}{2}\times \frac{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{1+{k}^{2}}\cdot \sqrt{3{k}^{2}+9k+\frac{27}{4}}}{4{k}^{2}+3}\times \frac{|3k+\frac{3}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=9$，
解得$ k=\frac{1}{2}$或$ k=\frac{3}{2}$，
则直线l的方程为$ y=\frac{1}{2}x$或$ y=\frac{3}{2}x-3.$
则离心率$ e=\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{1-\frac{9}{12}}=\frac{1}{2}$；
$ \left(2\right)$由$ \left(1\right)$可知，椭圆C的方程为$ \frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为$ x=3$，易知此时$ B(3,-\frac{3}{2})$，
点A到直线PB的距离为3，则$ {S}_{△ABP}=\frac{1}{2}\times 3\times 3=\frac{9}{2}$，与易知矛盾；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为$ y-\frac{3}{2}=k(x-3)$，即$ y=k(x-3)+\frac{3}{2}$，
设$ P({x}_{1},{y}_{1})$，$ B({x}_{2},{y}_{2})$，
联立$ \left\{\begin{array}{l}y=k(x-3)+\frac{3}{2}\\ \frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{9}=1\end{array}\right.$，消去y整理可得，$ (4{k}^{2}+3){x}^{2}-(24{k}^{2}-12k)x+36{k}^{2}-36k-27=0$，
则$ {x}_{1}+{x}_{2}=\frac{24{k}^{2}-12k}{4{k}^{2}+3},{x}_{1}{x}_{2}=\frac{36{k}^{2}-36k-27}{4{k}^{2}+3}$，
由弦长公式可得，$ \left|PB\right|=\sqrt{1+{k}^{2}}\cdot \sqrt{({x}_{1}+{x}_{2}{)}^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}=\sqrt{1+{k}^{2}}\cdot \sqrt{(\frac{24{k}^{2}-12k}{4{k}^{2}+3}{)}^{2}-4\times \frac{36{k}^{2}-36k-27}{4{k}^{2}+3}}=\frac{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{1+{k}^{2}}\cdot \sqrt{3{k}^{2}+9k+\frac{27}{4}}}{4{k}^{2}+3}$，
点A到直线l的距离为$ d=\frac{|3k+\frac{3}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
则$ \frac{1}{2}\times \frac{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{1+{k}^{2}}\cdot \sqrt{3{k}^{2}+9k+\frac{27}{4}}}{4{k}^{2}+3}\times \frac{|3k+\frac{3}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=9$，
解得$ k=\frac{1}{2}$或$ k=\frac{3}{2}$，
则直线l的方程为$ y=\frac{1}{2}x$或$ y=\frac{3}{2}x-3.$
解析
考查要点：本题主要考查椭圆的标准方程、离心率的计算，以及直线与椭圆相交时的几何应用问题，涉及弦长公式、点到直线的距离公式和三角形面积的综合运用。
解题思路：
- 第（1）问：通过已知点坐标代入椭圆方程，建立方程组求解$a^2$和$b^2$，进而计算离心率$e$。
- 第（2）问：分斜率存在与不存在两种情况讨论直线方程，联立直线与椭圆方程求交点，利用弦长公式和面积公式建立方程求解斜率$k$，最终确定直线方程。
破题关键：
- 第（1）问：正确代入点坐标，建立方程组并求解$a^2$和$b^2$。
- 第（2）问：分类讨论斜率，联立方程后正确应用弦长公式和点到直线的距离公式，结合面积条件建立方程。
第（1）题
-
代入点坐标：
- 点$A(0,3)$代入椭圆方程：$\frac{0^2}{a^2} + \frac{3^2}{b^2} = 1 \implies \frac{9}{b^2} = 1 \implies b^2 = 9$。
- 点$P(3, \frac{3}{2})$代入椭圆方程：$\frac{3^2}{a^2} + \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{9} = 1 \implies \frac{9}{a^2} + \frac{1}{4} = 1 \implies \frac{9}{a^2} = \frac{3}{4} \implies a^2 = 12$。
-
计算离心率：
- 离心率公式：$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{12}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$。
第（2）题
-
椭圆方程：由$a^2 = 12$，$b^2 = 9$，椭圆方程为$\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{9} = 1$。
-
分类讨论直线斜率：
- 斜率不存在：直线方程为$x = 3$，此时点$B(3, -\frac{3}{2})$，计算面积$\frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2}$，不满足条件，舍去。
- 斜率存在：设直线方程为$y = k(x-3) + \frac{3}{2}$，联立椭圆方程得：
$(4k^2 + 3)x^2 - (24k^2 - 12k)x + 36k^2 - 36k - 27 = 0$
利用韦达定理求根和$x_1 + x_2$和$x_1x_2$，代入弦长公式：
$|PB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \sqrt{\left(\frac{24k^2 - 12k}{4k^2 + 3}\right)^2 - 4 \cdot \frac{36k^2 - 36k - 27}{4k^2 + 3}}$
点$A$到直线的距离：
$d = \frac{|3k - \frac{3}{2}|}{\sqrt{1 + k^2}}$
由面积公式$\frac{1}{2} \cdot |PB| \cdot d = 9$，解得$k = \frac{1}{2}$或$k = \frac{3}{2}$，对应直线方程为：- $k = \frac{1}{2}$：$y = \frac{1}{2}x$
- $k = \frac{3}{2}$：$y = \frac{3}{2}x - 3$