题目
在抛物面=(x)^2+(y)^2被平面x + y + z = 1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值( ).=(x)^2+(y)^2=(x)^2+(y)^2=(x)^2+(y)^2=(x)^2+(y)^2
在抛物面
被平面x + y + z = 1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值( ).
题目解答
答案
解：设点P（x,y,z）为椭圆上的一点，则椭圆上的点到原点的距离为：
所求问题为如下的条件极值问题：
x,y,z满足的条件为：
作拉格朗日函数
分别对x,y,z求偏导可得：
可解得：
当
时，
不符合题意，舍去；
将
代入可得：
可以推出：
解得：
∴
根据题意知这种距离一定存在最值，所以距离的最大值在这两点取得，而
∴
∴这椭圆上的点到原点的距离的最大值为
所以选择A选项。
解析
步骤 1：建立目标函数和约束条件
设点P（x,y,z）为椭圆上的一点，则椭圆上的点到原点的距离为：$|OP|={x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}$
所求问题为如下的条件极值问题：
x,y,z满足的条件为：$z={x}^{2}+{y}^{2}$ x+y+z=1
步骤 2：构造拉格朗日函数
作拉格朗日函数${l}_{1}={x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}+\lambda (x-{x}^{2}-{y}^{2})+\mu (x+y+z-1)$
步骤 3：求偏导数
分别对x,y,z求偏导可得：
$\left \{ \begin{matrix} {L}_{z}=2x-2\lambda x+\mu =0\\ {L}_{y}=2y-2\lambda y+\mu =0\\ {L}_{z}=2z+\lambda +\mu +\mu =0\end{matrix} \right.$
步骤 4：解方程组
可解得：$(1-\lambda )(x-y)=0$
$\lambda =1$ x=y
当$\lambda =1$时，$\mu =0$ $z=-\dfrac {1}{2}$不符合题意，舍去；
将x=y代入$z={x}^{2}+{y}^{2}$ x+y+z=1可得：
$z=2{x}^{2}$ 2x+z=1
可以推出：$2{x}^{2}+2x-1=0$
解得：$x=y=\dfrac {-1\pm \sqrt {3}}{2}$ $z=2\pm \sqrt {3}$
步骤 5：计算距离
∴${M}_{1}=(\dfrac {-1+\sqrt {3}}{2},\dfrac {-1+\sqrt {3}}{2},2-\sqrt {3})$
${M}_{2}=(\dfrac {-1-\sqrt {3}}{2},\dfrac {-1-\sqrt {3}}{2},2+\sqrt {3})$
根据题意知这种距离一定存在最值，所以距离的最大值在这两点取得，而$2{(\dfrac {-1+\sqrt {3}}{2})}^{2}+{(2-\sqrt {3})}^{2}=9\pm 5\sqrt {3}$
∴$d=\sqrt {9\pm 5\sqrt {3}}$
设点P（x,y,z）为椭圆上的一点，则椭圆上的点到原点的距离为：$|OP|={x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}$
所求问题为如下的条件极值问题：
x,y,z满足的条件为：$z={x}^{2}+{y}^{2}$ x+y+z=1
步骤 2：构造拉格朗日函数
作拉格朗日函数${l}_{1}={x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}+\lambda (x-{x}^{2}-{y}^{2})+\mu (x+y+z-1)$
步骤 3：求偏导数
分别对x,y,z求偏导可得：
$\left \{ \begin{matrix} {L}_{z}=2x-2\lambda x+\mu =0\\ {L}_{y}=2y-2\lambda y+\mu =0\\ {L}_{z}=2z+\lambda +\mu +\mu =0\end{matrix} \right.$
步骤 4：解方程组
可解得：$(1-\lambda )(x-y)=0$
$\lambda =1$ x=y
当$\lambda =1$时，$\mu =0$ $z=-\dfrac {1}{2}$不符合题意，舍去；
将x=y代入$z={x}^{2}+{y}^{2}$ x+y+z=1可得：
$z=2{x}^{2}$ 2x+z=1
可以推出：$2{x}^{2}+2x-1=0$
解得：$x=y=\dfrac {-1\pm \sqrt {3}}{2}$ $z=2\pm \sqrt {3}$
步骤 5：计算距离
∴${M}_{1}=(\dfrac {-1+\sqrt {3}}{2},\dfrac {-1+\sqrt {3}}{2},2-\sqrt {3})$
${M}_{2}=(\dfrac {-1-\sqrt {3}}{2},\dfrac {-1-\sqrt {3}}{2},2+\sqrt {3})$
根据题意知这种距离一定存在最值，所以距离的最大值在这两点取得，而$2{(\dfrac {-1+\sqrt {3}}{2})}^{2}+{(2-\sqrt {3})}^{2}=9\pm 5\sqrt {3}$
∴$d=\sqrt {9\pm 5\sqrt {3}}$