设 L 为 y = sin x (0 leq x leq pi) 与 x 轴所围区域的边界，取正向，则 int_(L) (x^2 + 3y), dx + (y^2 + 2x), dy = ( ).A. 2B. -2C. 1D. -1

本题考查利用格林公式计算曲线积分。解题思路是先判断曲线$L$是否满足格林公式的条件，若满足则将曲线积分转化为二重积分，再计算二重积分的值。

步骤一：验证格林公式的条件

格林公式为$\oint_{L} Pdx + Qdy = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy$，其中$L$为分段光滑的闭曲线，取正向，$D$是由$L$所围成的闭区域，$P(x,y)$和$Q(x,y)$在$D$上具有一阶连续偏导数。
已知$P(x,y)=x^2 + 3y$，$Q(x,y)=y^2 + 2x$，曲线$L$为$y = \sin x (0 \leq x \leq \pi)$与$x$轴所围区域的边界，取正向，$P$和$Q$在该区域上具有一阶连续偏导数，满足格林公式的条件。

步骤二：计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$和$\frac{\partial P}{\partial y}$

对$Q(x,y)=y^2 + 2x$关于$x$求偏导数：
$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial (y^2 + 2x)}{\partial x} = 2$
对$P(x,y)=x^2 + 3y$关于$y$求偏导数：
$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial (x^2 + 3y)}{\partial y} = 3$

步骤三：将曲线积分转化为二重积分

根据格林公式$\oint_{L} Pdx + Qdy = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy$，可得：
$\int_{L} (x^2 + 3y)dx + (y^2 + 2x)dy = \iint_{D} (2 - 3)dxdy = -\iint_{D} dxdy$
其中$D$是由$y = \sin x (0 \leq x \leq \pi)$与$x$轴所围成的区域。

步骤四：计算二重积分

$-\iint_{D} dxdy$表示区域$D$的面积的相反数，区域$D$的面积为：
$S = \int_{0}^{\pi} \sin x dx$
根据积分公式$\int \sin x dx = -\cos x + C$，可得：
$S = -\cos x\big|_{0}^{\pi} = -(\cos \pi - \cos 0) = -(-1 - 1) = 2$
所以$-\iint_{D} dxdy = -2$。