题目

6.5178:一质点沿x轴作简谐振动,振动方程为 =4times (10)^-2cos (2pi t+dfrac (1)(3)pi )(S1) t=-|||-0时刻起,到质点位置在 x=-2cm 处,且向x轴正方向运动的最短时间间隔为-|||-(A) dfrac (1)(8)s (B) dfrac (1)(6)S (C) dfrac (1)(4)S (D) dfrac (1)(3)s (E) dfrac (1)(2)s

题目解答

答案

解析

本题考查简谐振动的振动方程及相位关系的应用。

关键分析

简谐振动方程为 $x = 4 \times 10^{-2} \cos(2\pi t + \frac{1}{3}\}\pi) \, (\text{SI})$，即 $x = 0.04 \cos(2\pi t + \frac{\pi}{3}) \, \text{m}$（或 \( 4 \cos(2\pi t + \frac{\pi}{3})}\,单位：cm）。 题目要求：从 $t=0$ 时刻起，到质点位置在 $x=-2 \, \text{cm}$ 处，且向 $x$ 轴正方向运动的最短时间间隔。

核心翁核心步骤

  1. 将位移条件转化为余弦函数值
    已知 $x=-2 \, \text{cm}$ )，而振幅 $A=4 \, \text{cm}$，故 $\cos\theta = \frac{x}{A} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$。
    余弦值为$-\frac \ \theta满足\(\cos\theta=-\frac{1}{2}$的角度为$\theta=\frac{2\pi}{3}+2k\pi n$或$\theta=\frac{4\pi}{3}+2\pi n$（$n$为整数）。

2.速度方向与相位的关系
速度 $v=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega\\omega t+\phi_0)$，速度方向由$\sin(\omega t+\phi_0)$的符号决定：

  • 向$x$轴正方向运动时，$v>0$，则$-A\omega\sin(\omega t+\phi_0)>0$，因$A,\omega>0$，故$\sin(\omega t+\phi_0)<0\sin(\omega t+\phi_0)<0$。

  1. 确定$t=0$时的初始相位
    初始相位$\phi_0=\frac{\pi}{3}$，故$\omega t+\phi_0=2\pi t+\frac{\pi}{3}$。

  2. 求解满足条件的$t$
    需满足：
    （1）$\cos(2\pi t+\frac{\pi}{3})=-\frac{1}{2}$
    （2）$\sin(2\pi t+\frac{\pi}{3})<0$（速度正方向）

    求解方程：
    由$\cos\alpha=-\frac{1}{2}$且$\sin\alpha<0$（$\alpha=2\pi t+\frac{\pi}{3}$），则$\alpha$位于第三象限，即$\alpha=\frac{4\pi}{3}+2\pi n$。
    令$2\pi t+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}+2\pi n$（$n=0$时取最小$\alpha$）：
    $2\pi t=\frac{4\pi}{3\pi}{3}$
    解得$t=\frac{1}{2}\, \text{s}$。