注 类似地，设f(x)在x=a处可导，且f(a)≠0，则lim_(ntoinfty)[(nint_(a)^a+frac(1)/(n)f(x)dx)(f(a))]^n=_.（e^(f(a))/(2f(a))）
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查泰勒展开的应用、定积分的近似计算以及极限求解中的自然指数形式。
解题核心思路：
- 泰勒展开：将函数$f(x)$在$x=a$处展开为一阶近似，简化积分计算。
- 积分近似：利用展开式计算积分$\int_{a}^{a+\frac{1}{n}} f(x) \, dx$，保留主要项。
- 极限转化：将表达式转化为$\left(1 + \frac{c}{n}\right)^n$的形式，利用极限公式$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{c}{n}\right)^n = e^c$求解。
破题关键点：
- 忽略高阶小项：积分区间长度为$\frac{1}{n}$，当$n \to \infty$时，高阶项对结果的影响可忽略。
- 正确处理系数：积分后的结果需准确提取与$n$相关的系数，确保指数部分的正确性。
步骤1：泰勒展开近似
将$f(x)$在$x=a$处展开为一阶泰勒多项式：
$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a).$
步骤2：计算积分
代入展开式，计算积分：
$\begin{aligned}\int_{a}^{a+\frac{1}{n}} f(x) \, dx &\approx \int_{a}^{a+\frac{1}{n}} \left[ f(a) + f'(a)(x - a) \right] dx \\&= f(a) \cdot \frac{1}{n} + f'(a) \cdot \int_{0}^{\frac{1}{n}} t \, dt \quad (\text{令} \, t = x - a) \\&= \frac{f(a)}{n} + \frac{f'(a)}{2n^2}.\end{aligned}$
步骤3：构造表达式
将积分结果代入原式，化简得：
$\frac{n \int_{a}^{a+\frac{1}{n}} f(x) \, dx}{f(a)} \approx \frac{n \left( \frac{f(a)}{n} + \frac{f'(a)}{2n^2} \right)}{f(a)} = 1 + \frac{f'(a)}{2f(a) \cdot n}.$
步骤4：求极限
当$n \to \infty$时，表达式趋近于$\left(1 + \frac{c}{n}\right)^n$形式，其中$c = \frac{f'(a)}{2f(a)}$，故极限为：
$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{f'(a)}{2f(a) \cdot n}\right)^n = e^{\frac{f'(a)}{2f(a)}}.$