16.求 lim _(xarrow 0)dfrac ({int )_(cos x)^-(t^2)dt}(xln (1+x)),

考查要点：本题主要考查变限积分求导与洛必达法则的综合应用。题目中的极限形式为“0/0”型不定式，需通过求导化简处理。

解题核心思路：

1. 识别变限积分：分子为变上限积分，需对积分上下限进行分析；
2. 应用洛必达法则：分子分母均为无穷小量，通过求导消去不定式；
3. 化简极限表达式：结合导数结果与等价无穷小替换简化计算。

破题关键点：

• 变限积分求导时注意积分上下限的符号；
• 正确应用洛必达法则两次后，分子分母需展开到足够阶数；
• 等价无穷小替换：$\ln(1+x) \sim x$，$\cos x \sim 1 - \frac{x^2}{2}$。

题目：求 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{\int }_{\cos x}^{-x^{2}}dt}{x\ln (1+x)}$

解题步骤：

步骤1：分析积分表达式

分子为变上限积分 $\int_{\cos x}^{-x^2} dt$，其值为积分上限与下限之差：
$\int_{\cos x}^{-x^2} dt = (-x^2) - \cos x = -x^2 - \cos x$

步骤2：代入原极限表达式

原式化简为：
$\lim_{x \to 0} \frac{-x^2 - \cos x}{x \ln(1+x)}$

步骤3：判断极限类型

当 $x \to 0$ 时，分子 $-x^2 - \cos x \to -1$，分母 $x \ln(1+x) \to 0$，但需进一步分析：

• 分子展开到二阶：$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，故分子为：
  $-x^2 - \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) = -1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$
• 分母展开：$\ln(1+x) \sim x$，故分母为 $x \cdot x = x^2$

此时极限为 $\frac{-1}{x^2}$ 型，即 趋向于 $-\infty$。

步骤4：修正错误分析

若题目中积分上限为 $-t^2$（可能输入错误），则原积分无法直接计算。假设题目应为 $\int_{\cos x}^{-x^2} dt$，则上述步骤成立。