题目
已知函数f（x）=((x+m))/(({x^2)-4)}是定义在（-2，2）上的奇函数．（1）确定f（x）的解析式；（2）用定义证明：f（x）在区间（-2，2）上是减函数；（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．
已知函数$f（x）=\frac{{x+m}}{{{x^2}-4}}$是定义在（-2，2）上的奇函数．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）用定义证明：f（x）在区间（-2，2）上是减函数；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）用定义证明：f（x）在区间（-2，2）上是减函数；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．
题目解答
答案
解：（1）由奇函数的性质得，f（0）=-$\frac{m}{4}$=0，
故m=0，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-4}$，
证明：（2）设-2＜x1＜x2＜2，
则f（x1）-f（x2）=$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}-4}$$-\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}-4}$=$\frac{（4+{x}_{1}{x}_{2}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{{x}_{1}}^{2}-4）（{{x}_{2}}^{2}-4）}$＞0，
所以f（x1）＞f（x2），
故f（x）在区间（-2，2）上是减函数；
（3）因为f（x）在区间（-2，2）上是减函数且为奇函数，
由f（t-1）+f（t）＜0得f（t-1）＜-f（t）=f（-t），
所以2＞t-1＞-t＞-2，
解得，$\frac{1}{2}＜t＜2$，
故不等式的解集（$\frac{1}{2}$，2）．
故m=0，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-4}$，
证明：（2）设-2＜x1＜x2＜2，
则f（x1）-f（x2）=$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}-4}$$-\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}-4}$=$\frac{（4+{x}_{1}{x}_{2}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{{x}_{1}}^{2}-4）（{{x}_{2}}^{2}-4）}$＞0，
所以f（x1）＞f（x2），
故f（x）在区间（-2，2）上是减函数；
（3）因为f（x）在区间（-2，2）上是减函数且为奇函数，
由f（t-1）+f（t）＜0得f（t-1）＜-f（t）=f（-t），
所以2＞t-1＞-t＞-2，
解得，$\frac{1}{2}＜t＜2$，
故不等式的解集（$\frac{1}{2}$，2）．
解析
步骤 1：利用奇函数性质
奇函数性质：f（-x）=-f（x）。
步骤 2：代入x=0
由于f（x）是奇函数，所以f（0）=0。
步骤 3：求解m
将x=0代入f（x）的表达式，得到f（0）=$\frac{m}{-4}$=0，解得m=0。
步骤 4：确定f（x）的解析式
将m=0代入f（x）的表达式，得到f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-4}$。
【答案】
f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-4}$。
（2）用定义证明：f（x）在区间（-2，2）上是减函数
【解析】
步骤 1：设-2＜x_1＜x_2＜2
步骤 2：计算f（x_1）-f（x_2）
f（x_1）-f（x_2）=$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}-4}$$-\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}-4}$=$\frac{（4+{x}_{1}{x}_{2}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{{x}_{1}}^{2}-4）（{{x}_{2}}^{2}-4）}$。
步骤 3：分析f（x_1）-f（x_2）的符号
由于-2＜x_1＜x_2＜2，所以${x}_{1}{x}_{2}＞-4$，${x}_{2}-{x}_{1}＞0$，${{x}_{1}}^{2}-4＜0$，${{x}_{2}}^{2}-4＜0$，因此f（x_1）-f（x_2）＞0。
步骤 4：得出结论
f（x_1）＞f（x_2），所以f（x）在区间（-2，2）上是减函数。
【答案】
f（x）在区间（-2，2）上是减函数。
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0
【解析】
步骤 1：利用奇函数性质
f（t-1）+f（t）＜0，即f（t-1）＜-f（t）=f（-t）。
步骤 2：利用单调性
由于f（x）在区间（-2，2）上是减函数，所以t-1＞-t。
步骤 3：求解t
解得t＞$\frac{1}{2}$。
步骤 4：考虑定义域
由于f（x）的定义域为（-2，2），所以-2＜t-1＜2，-2＜t＜2，解得-1＜t＜3。
步骤 5：得出结论
综上所述，$\frac{1}{2}＜t＜2$。
奇函数性质：f（-x）=-f（x）。
步骤 2：代入x=0
由于f（x）是奇函数，所以f（0）=0。
步骤 3：求解m
将x=0代入f（x）的表达式，得到f（0）=$\frac{m}{-4}$=0，解得m=0。
步骤 4：确定f（x）的解析式
将m=0代入f（x）的表达式，得到f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-4}$。
【答案】
f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-4}$。
（2）用定义证明：f（x）在区间（-2，2）上是减函数
【解析】
步骤 1：设-2＜x_1＜x_2＜2
步骤 2：计算f（x_1）-f（x_2）
f（x_1）-f（x_2）=$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}-4}$$-\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}-4}$=$\frac{（4+{x}_{1}{x}_{2}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{{x}_{1}}^{2}-4）（{{x}_{2}}^{2}-4）}$。
步骤 3：分析f（x_1）-f（x_2）的符号
由于-2＜x_1＜x_2＜2，所以${x}_{1}{x}_{2}＞-4$，${x}_{2}-{x}_{1}＞0$，${{x}_{1}}^{2}-4＜0$，${{x}_{2}}^{2}-4＜0$，因此f（x_1）-f（x_2）＞0。
步骤 4：得出结论
f（x_1）＞f（x_2），所以f（x）在区间（-2，2）上是减函数。
【答案】
f（x）在区间（-2，2）上是减函数。
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0
【解析】
步骤 1：利用奇函数性质
f（t-1）+f（t）＜0，即f（t-1）＜-f（t）=f（-t）。
步骤 2：利用单调性
由于f（x）在区间（-2，2）上是减函数，所以t-1＞-t。
步骤 3：求解t
解得t＞$\frac{1}{2}$。
步骤 4：考虑定义域
由于f（x）的定义域为（-2，2），所以-2＜t-1＜2，-2＜t＜2，解得-1＜t＜3。
步骤 5：得出结论
综上所述，$\frac{1}{2}＜t＜2$。