计算下列极限：(11) lim_(n to infty) (1+(1)/(2)+(1)/(4)+...+(1)/(2^n))；(12) lim_(n to infty) (1+2+3+...+(n-1))/(n^2)；(13) lim_(n to infty) ((n+1)(n+2)(n+3))/(5n^3)；(14) lim_(x to 1) ((1)/(1-x)-(3)/(1-x^3)).

我们逐题分析并计算这些极限。

(11) $\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right)$

这是一个等比数列的前 $ n+1 $ 项和，首项为 $ a = 1 $，公比为 $ r = \frac{1}{2} $。

等比数列前 $ n+1 $ 项和公式为：

$S_{n+1} = a \cdot \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}$

代入数值：

$S_{n+1} = 1 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{\frac{1}{2}} = 2 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right)$

当 $ n \to \infty $ 时，$\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} \to 0$，所以：

$\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right) = 2$

✅ 答案： $\boxed{2}$

(12) $\lim_{n \to \infty} \frac{1+2+3+\cdots+(n-1)}{n^2}$

分子是前 $ n-1 $ 个自然数的和，即：

$1 + 2 + \cdots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$

所以原式变为：

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(n-1)n}{2}}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n-1)n}{2n^2}$

化简：

$= \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - n}{2n^2} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2n}\right)$

当 $ n \to \infty $ 时，$\frac{1}{2n} \to 0$，所以：

$\lim_{n \to \infty} \frac{1+2+3+\cdots+(n-1)}{n^2} = \frac{1}{2}$

✅ 答案： $\boxed{\frac{1}{2}}$

(13) $\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5n^3}$

我们先展开分子：

$(n+1)(n+2)(n+3)$

我们先算前两个括号：

$(n+1)(n+2) = n^2 + 3n + 2$

再乘以 $ (n+3) $：

$(n^2 + 3n + 2)(n + 3) = n^3 + 3n^2 + 2n + 3n^2 + 9n + 6 = n^3 + 6n^2 + 11n + 6$

所以原式为：

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^3 + 6n^2 + 11n + 6}{5n^3}$

将每一项除以 $ n^3 $：

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{6}{n} + \frac{11}{n^2} + \frac{6}{n^3}}{5}$

当 $ n \to \infty $ 时，所有分母含 $ n $ 的项都趋于 0，所以：

$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5n^3} = \frac{1}{5}$

✅ 答案： $\boxed{\frac{1}{5}}$

(14) $\lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)$

我们先观察这个极限，当 $ x \to 1 $ 时，$ 1 - x \to 0 $，$ 1 - x^3 \to 0 $，所以这是一个 $ \infty - \infty $ 型极限，需要通分或化简。

我们先用公式：

$1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2)$

所以：

$\frac{3}{1 - x^3} = \frac{3}{(1 - x)(1 + x + x^2)}$

原式变为：

$\frac{1}{1 - x} - \frac{3}{(1 - x)(1 + x + x^2)} = \frac{1}{1 - x} \left(1 - \frac{3}{1 + x + x^2}\right)$

接下来我们计算括号内的极限：

$\lim_{x \to 1} \left(1 - \frac{3}{1 + x + x^2}\right)$

当 $ x \to 1 $ 时，$ 1 + x + x^2 \to 1 + 1 + 1 = 3 $，所以：

$1 - \frac{3}{1 + x + x^2} \to 1 - \frac{3}{3} = 0$

所以整个极限是：

$\lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{1 - x} \cdot 0\right) = 0$

✅ 答案： $\boxed{0}$

总结答案：

• (11) $\boxed{2}$
• (12) $\boxed{\frac{1}{2}}$
• (13) $\boxed{\frac{1}{5}}$
• (14) $\boxed{0}$