证明方程^5-3x=1至少有一个根介于 1 和 2 之间

考查要点：本题主要考查零点定理（介值定理）的应用，通过判断函数在区间端点的函数值符号，确定方程在该区间内是否存在根。

解题核心思路：

1. 将方程转化为函数形式$f(x) = x^5 - 3x - 1$，寻找其零点。
2. 验证函数在区间端点$x=1$和$x=2$处的函数值符号是否相反。
3. 结合多项式函数的连续性，直接应用零点定理得出结论。

破题关键点：

• 正确计算$f(1)$和$f(2)$的值，并判断符号。
• 确认函数$f(x)$在区间$[1,2]$上连续（多项式函数天然连续）。

1. 构造函数
   将方程$x^5 - 3x = 1$改写为$f(x) = x^5 - 3x - 1$，寻找$f(x)=0$的解。

2. 计算区间端点函数值

   • 当$x=1$时：
     $f(1) = 1^5 - 3 \cdot 1 - 1 = 1 - 3 - 1 = -3$
   • 当$x=2$时：
     $f(2) = 2^5 - 3 \cdot 2 - 1 = 32 - 6 - 1 = 25$

3. 分析符号变化

   • $f(1) = -3 < 0$，$f(2) = 25 > 0$，两者符号相反。
   • 根据零点定理，若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$符号相反，则至少存在一点$c \in (a,b)$，使得$f(c)=0$。

4. 结论
   多项式函数$f(x)$在$[1,2]$上连续，且$f(1) \cdot f(2) = -3 \times 25 = -75 < 0$，因此方程在$(1,2)$内至少有一个根。